Aclaraciones de la ley de inducción de Faraday - Cambio de área a lo largo del tiempo

Estoy repasando las ecuaciones de Maxwell con la esperanza de dominarlas bastante mejor que cuando estaba en el banco de la escuela.

La Ley de inducción de Faraday me deja con una pregunta que no puedo entender del todo.

Primero, las leyes de Lenz establecen que la relación de la EMF con el flujo magnético es:

mi METRO F = − d Φ B d t

Entonces, el flujo magentix Φ B estaría dada por la integral de área de la densidad de flujo.

Φ B = ∬ S B ⋅ d S

Bueno, ahora Wikipedia afirma que la ley de inducción de Faraday es la siguiente.

∮ Σ mi ⋅ d ℓ = − ∫ Σ ∂ B ∂ t ⋅ d A

Lo que me confunde es que la derivada del flujo está dentro de la integral de superficie. Una simple sustitución de la variable de flujo en las dos primeras ecuaciones haría que la derivada de flujo fuera del área integral.

Sé que puedo sacar la derivada temporal de la integral de superficie si dA es constante, esto es puramente matemático. Aunque, de la forma en que entiendo la ecuación de Faraday tal como se presenta arriba, un cambio del área con el tiempo no afectará el EMF.

Por otro lado, una de las demostraciones en línea del profesor Walter Lewins explica el caso de una barra de cobre deslizante en un circuito que induce EMF en un circuito cerrado a medida que el área crece para un campo magnético constante.

Si hacemos este ejercicio con un campo constante B=10y un área que cambia, entiendo que obtendríamos:

mi METRO F = ∮ Σ mi ⋅ d ℓ = − ∫ Σ ∂ 10 ∂ t ⋅ d A ( t ) = − ∫ Σ 0 ⋅ d A ( t ) = 0
Me equivoco ?

Que me estoy perdiendo aqui ?

Gracias

Respuestas (1)

Lo que me confunde es que la derivada del flujo está dentro de la integral de superficie.

La derivada parcial dentro de la integral proviene de la regla integral de Leibniz (detallada a continuación).

Considere la forma generalizada de la ecuación de Maxwell-Faraday:

∮ mi ⋅ d ℓ = − ∫ Σ ∂ B ∂ t ⋅ d A

Esto es cierto para cualquier camino . ∂ Σ , que es cualquier contorno cerrado que delimita la superficie Σ .

Ahora recuerda la forma generalizada de la regla integral de Leibniz:

d d t ∫ b ( X ) a ( X ) F ( X , t )   d t = F ( X , b ( X ) )   d d t b ( X ) − F ( X , a ( X ) )   d d t a ( X ) + ∫ b ( X ) a ( X ) ∂ ∂ t F ( X , t )   d t

¿Notaste que los límites de la integral anterior no son constantes?

El término del lado derecho de la ecuación de Maxwell-Faraday generalizada es una integral de superficie (y, por supuesto, integral alrededor de ∂ Σ es una integral de línea) y la derivada parcial dentro de esta integral indica que cualquier ∂ Σ camino es dependiente del tiempo . Es por eso que escribimos la ecuación de Maxwell-Faraday en forma generalizada porque no podemos garantizar que cualquier ∂ Σ es constante

Ahora veamos la regla de Leibniz nuevamente cuando los límites son constantes . Los primeros dos términos del lado derecho se vuelven cero y la integral toma su propia forma especial:

d d t ∫ b a F ( X , t )   d t = ∫ b a ∂ ∂ t F ( X , t )   d t

A partir de esto, podemos sacar una conclusión: si el camino ∂ Σ , que delimita la superficie Σ , no cambia con el tiempo , la ecuación de Maxwell-Faraday se convierte en:

∮ mi ⋅ d ℓ = − d d t ∫ Σ B ⋅ d A

NOTA: Escribí la regla integral de Leibniz para una sola dimensión e hice explicaciones sobre ella solo para simplificar las cosas, pero lo mismo se aplica para dimensiones más altas.

Hmm, ¿qué conclusión puedo sacar de esta afirmación?
@ Pier-YvesLessard Pensé que estabas preguntando de dónde viene la dependencia del tiempo de dA. Así que traté de mostrarlo. ¿Entendí mal?
@ Rohat Kılıç: Tal vez no obtenga la respuesta correcta. Tener la derivada del tiempo fuera de la integral como lo hiciste tiene sentido para mi intuición y parece coincidir con el problema de la barra deslizante. Pero la ecuación obtenida de Wikipedia muestra una derivada temporal dentro de la integral de área.
@Pier-YvesLessard Ah, está bien. Ahora lo tengo. Lo siento. Estoy actualizando mi respuesta.
Correcto, no sabía sobre la regla de Leibniz. Todavía estoy un poco confundido. Primero, la conclusión que propone es algo que dije que sabía en mi pregunta (aunque sin los sólidos conocimientos matemáticos que mostró). Por otro lado, el término de la izquierda es lo que obtendría al sustituir la Ley de Lenz y la definición del flujo de Magnetix, mientras que la ley de Faraday solo incluye uno de los tres términos de la derecha. Tengo problemas para relacionar todas las ecuaciones juntas. Edité mi pregunta para mostrar mi razonamiento matemático (que probablemente sea incorrecto), tal vez eso lo aclare más. Gracias
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