¿A qué distancia de estos planetas se debe colocar esta luna?

¿Es posible? Absolutamente. Plutón y Caronte están bloqueados por mareas y, sin embargo, Plutón tiene otras cuatro lunas ¹ . Caronte es relativamente masivo en comparación con Plutón, aproximadamente una doceava parte de su masa. De hecho, el centro de masa del sistema se encuentra fuera de Plutón. No veo ninguna razón por la que la estabilidad deba ser diferente para dos planetas binarios.

Sin embargo, esto no nos da una respuesta del rango interno de las órbitas. No estoy al tanto de análisis en profundidad de la dinámica de los satélites naturales de los planetas binarios. Sin embargo, existe un análisis de planetas circumbinarios que orbitan estrellas binarias, y aquí podemos usar la misma mecánica orbital.

Gales et al. (2013) estado ²

El criterio de estabilidad requiere que el planeta orbite fuera de aproximadamente 2 a 4 veces el semieje binario mayor, o períodos de 3 a 8 veces el período binario.

Ahí tienes Así que la luna debe tener

• Un semieje mayor de al menos 26.350 kilómetros (dos veces el semieje mayor, que es la mitad de la distancia de separación) más allá de la órbita de los planetas.
• Un período de al menos 72 horas (tres veces el período orbital de los planetas).

Aquí hay un diagrama, como deseabas, para puntos de bonificación (aunque un poco fuera de lugar, lo hice en Paint):

Aquí,$a$es el semieje mayor de los planetas.

^{1 Tres de ellos están en resonancia entre sí, y las perturbaciones de otros cuerpos aseguran que el sistema sea caótico, pero no parece que sus órbitas sean inestables.
2 Admitiré que el criterio puede ser diferente debido a la diferencia de masa: la luna será mucho más masiva en relación con los planetas de lo que sería un planeta circumbinario con respecto a una estrella binaria, pero no creo que suponga una gran diferencia. .}

Sí, lo es.

Quieres que tu luna sea estable durante 10 mil millones de años. Echemos un vistazo a nuestra Luna: orbita nuestra Tierra a una distancia de 384.400 km, con un período de 29 d, 12 h y 44 my una velocidad media igual a 1022 m/s. A medida que el sistema transfiere el momento angular del giro de la Tierra a la órbita de la Luna, la Luna se aleja lentamente (4 cm en un año). Después de que la Tierra se una a la Luna por marea, el sistema comenzará a transferir el momento angular del sistema Tierra-Luna al sistema Tierra-Sol y la Luna comenzará a acercarse nuevamente. Sin embargo, el Sol los engullirá a ambos antes de que la Luna choque con la Tierra.

Ahora, pongamos nuestra Luna en su sistema y consideremos la estabilidad. No sé todas las matemáticas, pero sabiendo que nuestra Luna probablemente será estable durante otros miles de millones de años, en este caso es seguro asumir que también será estable aquí: basando mis suposiciones en el hecho de que los planetas se orbitan entre sí con una distancia de 26.350 km, entonces su órbita está demasiado cerca para dar problemas a la órbita de la Luna. Simplemente reduciría el tamaño de la Luna para que se vea menos afectada por un impacto entre los planetas (si lo desea) y para que el sistema sea más estable (aunque creo que debería serlo).

Escribí esta respuesta asumiendo que la masa de los planetas es del tamaño de la Tierra o un poco más y que sus planetas no orbitan una estrella M o K. Si no es así, entonces la estabilidad no está garantizada. Sé que solo he escrito sobre una situación específica, pero espero que aún sea útil.

Quieres que tu luna orbite fuera del límite de Roche y dentro de la esfera de influencia.

Una serie de problemas, (1) tendría que calcular los parámetros orbitales de los clones de la Tierra y (2) tendría que calcular el parámetro orbital de una luna que orbita una masa del tamaño de dos Tierras dado un determinado período orbital.

Es imposible calcular (2) sin conocer el tiempo que tarda esta Luna en orbitar. El primero, sin embargo, se puede hacer.

Un día son 86400 segundos. La masa de la Tierra es 5,972 × 10 ²⁴ kg.

Ya que conocemos T, la constante gravitacional G y M, resuelva para R. La respuesta es 42109.77324 kilómetros. Así que tendrás que ponerlo más allá de eso. Ahora, el límite de Roche de cada Tierra probablemente se puede aproximar a partir del límite de Roche de la Tierra real por sí misma. Son 18.470 km.

Entonces, póngalo más allá de 26165.8 + 18470 km, o 44 000 kilómetros. Sea lo que sea, puedes ponerlo donde está la Tierra ahora con estabilidad. Naturalmente, este es un problema complicado de tres cuerpos ahora, por lo que se aplica ese problema.