¿Cuáles son los mejores libros de texto para leer sobre la base matemática que necesita para la física moderna, como la teoría de cuerdas?
Algunos temas fuera de mi cabeza que probablemente necesiten cubrirse:
El último libro que leí sobre "antecedentes matemáticos para físicos" fue "Mathematics for Physics" de Stone y Goldbart, y lo disfruté bastante. (Desde entonces, he tendido a leer libros de matemáticas puras, pero esa es una historia diferente).
Aún mejor, una versión del libro está disponible en línea en la página web de Paul Goldbart. *Si la URL anterior no funciona; prueba este: http://goldbart.gatech.edu/PG_MS_MfP.htm *
Aquí hay una lista de temas:
* Calculus of Variations
* Function Spaces
* Linear Ordinary Differential Equations
* Linear Differential Operators
* Green Functions
* Partial Differential Equations
* The Mathematics of Real Waves
* Special Functions
* Integral Equations
* Vectors and Tensors
* Differential Calculus on Manifolds
* Integration on Manifolds
* An Introduction to Differential Topology
* Groups and Group Representations
* Lie Groups
* The Geometry of Fibre Bundles
* Complex Analysis I
* Complex Analysis II
* Special Functions and Complex Variables
o Appendix A: Linear Algebra Review
o Appendix B: Fourier Series and Integrals
Lecture Notes on General Relativity de Sean Carroll contiene una magnífica introducción a las matemáticas de GR (geometría diferencial en variedades de Riemann). Estos también se publicaron en forma modificada en su libro Spacetime and Geometry.
Cálculo en variedades de Spivak es una joya.
Bishop's Tensor Analysis on Manifolds es una gran introducción al tema, y publicado por Dover, es muy barato (menos de $ 10 en Amazon).
Lie Algebras In Particle Physics de Georgi es agradable y de ritmo rápido, pero probablemente se salta demasiado para ser utilizado como una primera exposición adecuada.
Métodos geométricos de física matemática de Shutz y un primer curso de relatividad general .
A pesar de su título increíblemente pomposo, The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe de Penrose ofrece una agradable visión de alto nivel de una vasta extensión de la física matemática.
Como mencionó Cedric, soy un gran admirador de la Estructura e Interpretación de la Mecánica Clásica de Sussman y Wisdom y el memorando de Geometría Diferencial Funcional asociado. Las citas en esas publicaciones también apuntarán a una gran cantidad de buen material y hay más cosas buenas si investigas el código fuente.
Para un enfoque general de las matemáticas involucradas tanto en la física clásica como en la cuántica, uno de mis libros favoritos es:
-“Matemáticas de la física clásica y cuántica”, Byron & Fuller.
En el lado más geométrico, además de los libros ya mencionados, puedes probar:
-"La geometría de la física. Una introducción", Theodore Frankel.
Y, como referencia general, el texto habitual es "Métodos matemáticos para físicos" de Arfken.
Pero, en mi humilde opinión, si desea comprender a fondo las herramientas matemáticas de la física, debe usar "Métodos de física teórica", de Morse & Feshbach. Es un libro antiguo, pero imprescindible si quieres entender la Electrodinámica Clásica de Jackson o la Mecánica Cuántica de Messiah.
Encontré Mathematical Methods in the Physical Sciences de Mary Boas como un muy buen libro amplio que cubre los conceptos básicos. Obviamente, necesitará otros libros, pero si está buscando un libro para una revisión sólida de los conceptos básicos, este libro es excelente.
Estos son los títulos de los capítulos:
También secundo The Road to Reality de Roger Penrose como un buen libro con un amplio alcance de las matemáticas con una inclinación más teórica.
Buena pregunta. No sé mucho sobre geometría diferencial o topología algebraica, pero habiendo estudiado un poco los grupos, creo que puedo proporcionar algunas referencias para los grupos de Lie. Así que aquí están los libros que encontré útiles.
Samelson, Notes on Lie Algebras escrito en un estilo de Definición, Teorema, Demostración , por lo que es un poco difícil de entender (recomiendo varias relecturas) pero brinda una buena descripción general de la estructura, clasificación (sistemas de raíz y diagramas de Dynkin) y representaciones (mayor peso teoría) de álgebras de Lie.
Humphreys, Introducción a Lie Algebras and Representation Theory , menos pesado en teoremas y más hablador que Samelson y contiene una gran cantidad de excelentes ejercicios.
Fulton, Harris, Representation Theory A First Course analiza más o menos todo lo que un físico necesita saber sobre grupos (también menciona algunos grupos finitos). Carece del enfoque sistemático basado en teoremas de los dos libros anteriores, pero cuenta con excelentes explicaciones y buenas imágenes. Lo sugeriría como una buena primera lectura sobre grupos si no fuera por su extensión.
Goodman, Wallach, Representaciones e invariantes de los grupos clásicos, esta es una biblia definitiva sobre grupos. Los autores adoptan un enfoque geométrico algebraico de los grupos de Lie (en lugar de la geometría diferencial habitual), lo que hace que el libro sea algo difícil de leer para un físico normal. Pero además de esto, el libro brinda una mirada profunda a muchas representaciones concretas (por ejemplo, representaciones de tensores y conexión con grupos simétricos; esto a menudo se omite en otros lugares), analiza la teoría del peso más alto en gran detalle, brinda una buena introducción a los espinores y también menciona reglas de ramificación. Y muchas otras cosas. Definitivamente recomendado
Un libro bastante matemático, pero clásico, sobre las variedades de Riemannain es: Semi-Riemannian Geometry de O'Neill .
Algunas notas accesibles de Lie Algebra están disponibles aquí, están diseñadas para requerir poca información: Lecture Notes on Lie Algebra .
Mi libro favorito personal sobre topología algebraica/diferencial es: Calculus to Cohomology . Este libro es extremadamente accesible y solo requiere cálculo multivariable y álgebra lineal para comprenderlo por completo. No puedo recomendarlo lo suficiente, particularmente para la física.
También hago el tercer Camino a la Realidad. ¡Es un libro muy divertido/interesante!
¡Qué libro fascinantemente inusual! Geometría diferencial explicada como algoritmos informáticos.
El mejor libro de matemáticas que he leído con respecto a ser útil para la física es
Es una joya absoluta. Te lleva a través de álgebra lineal y formas diferenciales a partir del cuadrado uno, suponiendo que solo sepas álgebra y cálculo. Las pruebas son legítimas y en algunos casos realmente creativas. La mejor parte es que está dirigido a personas que quieren usar las matemáticas para las aplicaciones. La extremización de funciones en variedades está muy bien desarrollada y los autores brindan información detallada sobre cómo abordar numéricamente los temas analíticos presentados en el libro. Las cosas realmente útiles como encontrar series de Taylor para funciones implícitas se hacen bien. Realmente no puedo darle a este libro suficiente respaldo.
Después de leer que leí
Este libro integra formalmente las formas diferenciales. Aún así, es increíblemente fácil de leer, y nunca encontré un solo error en todo el libro. Esta fue una gran lectura y reforzó mi comprensión, pero no era directamente relevante para la física.
Luego más tarde leí
que es una excelente introducción a las variedades curvas. Es agradable porque explica claramente la diferencia entre vectores y co-vectores (índices "arriba" y "abajo") y lo relaciona todo con la vida real (es decir, la física).
El campo de las álgebras de operadores tiene una fuerte conexión con la teoría cuántica y ciertamente es un requisito necesario para estudiar muchas literaturas en física moderna. Enumero algunos de los libros que relacionan las álgebras de operadores y la física a continuación:
S. Attal, A. Joye, CA Pillet, Editores, Open Quantum Systems 1, el enfoque hamiltoniano. Springer, Apuntes de clase de matemáticas, vol. 1880, (2006).
B. Blackadar, Operador de álgebras. Springer, Enciclopedia de Ciencias Matemáticas, vol. 122, (2006).
O. Bratteli, DW Robinson, Álgebras de operadores y mecánica estadística cuántica 1, - y -álgebras, grupos de simetría, descomposición de estados. Springer, Textos y monografías en física, 2ª edición, 2ª impresión, (2002).
Connes, A., Geometría no conmutativa. Prensa académica, Inc. (1994).
García-Bondia, JM, Varilly, JC, Figueroa, H., Elementos de geometría no conmutativa. Textos avanzados de Birkhauser, Birkhauser, (2000).
NP Landsman, Temas matemáticos entre la mecánica clásica y la cuántica. Springer, Monografías en matemáticas, (1998).
M. Takesaki, Teoría de álgebras de operadores I, II, II. Springer, Enciclopedia de Ciencias Matemáticas, vol. 124, (2002).
N. Weaver, Cuantización matemática. Estudios en matemáticas avanzadas, Chapman y Hall/CRC, (2001).
Además de los libros anteriores, para obtener una lista más completa de referencias generales sobre -álgebras y álgebras de operadores, así como para una lectura fácil para principiantes, vea mis notas de clase en -álgebras aquí.
¿Está solicitando un libro de nivel de introducción o un libro más avanzado para alguien que ya tiene experiencia en esos temas?
Para un nivel introductorio, secundo a los Schutz y Spivak recomendados anteriormente. Penrose y Frankel son adecuados solo si ya ha tenido un curso de introducción a esos temas, en mi opinión. La introducción de Frankel a las variedades está muy condensada, y Penrose realmente proporciona una vista panorámica mientras se salta muchos detalles que los principiantes necesitarían para construir intuiciones básicas.
Las mejores notas introductorias que he encontrado para los manifolds tal como se usan en GR son las de David Malament, que puedes descargar aquí .
'Modern Mathematical Physics' de Peter Szekeres es el mejor libro que he encontrado sobre los fundamentos de la física matemática. Es extremadamente claro y transmite una comprensión profunda en la primera lectura.
Hay una vista previa de Amazon aquí: http://www.amazon.com/Course-Modern-Mathematical-Physics-Differential/dp/0521829607
Títulos de los capítulos:
Conjuntos y estructuras
Grupos
Espacios vectoriales
Operadores lineales y matrices
Espacios interiores de productos
Álgebras
tensores
álgebra exterior
Relatividad especial
Topología
Teoría de la medida e integración
Distribuciones (Transformadas de Fourier, funciones de Green)
Espacios de Hilbert
Mecánica cuántica
Geometría diferencial
Formas diferenciables
Integración en colectores
Conexiones y curvatura
Lie Groups y Lie Algebra
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El libro de Lee, Introducción a Smooth Manifolds es muy bueno y aborda el tema de manera pausada y motivada. Por lo que recuerdo, no vincula esto con la física de una manera natural.
Gauge Fields, Knots & Gravity de Baez y Munian también es muy ameno y cubre la teoría de paquetes y formas diferenciales en física de una manera simple y fácil de entender. Una característica admirable del libro es que los ejercicios son solo ejercicios, es decir, enseñan cómo comprender el material.
Una contraparte más rigurosa de este material son las primeras cien páginas de Operaciones naturales en geometría diferencial de Michors , este tratamiento es altamente matemático y muy riguroso.
En cuanto a la topología algebraica, nuevamente el libro de Lee es un buen comienzo, Una introducción a las variedades topológicas , y luego, para la teoría más avanzada, el libro de Bott & Tu, Formas diferenciales en la topología algebraica .
pierre polovodov