Derivación de ecuaciones de Maxwell en su forma covariante

Las ecuaciones de Mawell, en un sistema de unidades particular, son:

∇ ⋅ mi → = ρ ( 1 ) ∇ × B → = ∂ mi → ∂ t + j → ( 2 ) ∇ ⋅ B → = 0 ( 3 ) ∇ × mi → = − ∂ B → ∂ t ( 4 )

Si introducimos la matriz

F α β = ( 0 mi X mi y mi z − mi X 0 B z − B y − mi y − B z 0 B X − mi z B y − B X 0 )   ( 5 )

Derivé que, las ecuaciones de Maxwell (1) y (2) se simplifican en ∂ α F α β = − j β . Pero, S. Weinberg también dice que las ecuaciones de Maxwell (3) y (4) se simplifican en la forma

ϵ α β γ d ∂ β F γ d = 0

¿Cómo puedo derivar esta última ecuación?

Sugerencia: elija α = 0 en ϵ α β γ d y verifique que esta ecuación es ∇ . B = 0 . De la misma manera, elige α = i para i = 1 , 2 , 3 y demuestra que lo consigues ∇ × mi = B ˙ .
Historia lagrangiana correspondiente: physics.stackexchange.com/q/71611/2451

Respuestas (1)

Esta ecuación se deriva de la misma manera que la primera pero considerando en su lugar el tensor electromagnético dual :

GRAMO m v = 1 2 ϵ m v α β F α β

Dónde ϵ m v α β es el tensor totalmente antisimétrico.

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