componentes contravariantes del tensor de campo electromagnético bajo transformación de lorentz

Tengo que mostrar cómo se comportan las componentes contravariantes del tensor de campo electromagnético bajo la transformación de Lorentz.

Supongo que la respuesta debería ser algo como esto.

$$F'^{\mu\nu}=\frac{\partial x'^\alpha}{\partial x^\gamma}\frac{\partial x'^\beta}{\partial x^\delta}=\Lambda^\alpha{}_\gamma\Lambda^\beta{}_\delta F^{\gamma\delta}$$ Eso no es gran cosa, uno puede ver esto de inmediato (aunque realmente no entiendo el mensaje de este ejercicio, ya que $F^{\mu\nu}$simplemente se transforma como un tensor de segundo rango tiene que hacerlo por definición)

Sin embargo, el ejercicio quiere que derive esto de las ecuaciones de Maxwell no homogéneas en la formulación covariante:

$$\partial_\mu F^{\mu\nu}=\mu_0j^\nu$$

se cómo$\partial_\mu$transforma:

$$\partial'_\mu=\frac{\partial x^\nu}{\partial x'^\nu}\frac{\partial}{\partial x^\nu}=\Lambda_\mu{}^\nu \partial_\nu=(\Lambda^{-1})^\nu{}_\mu \partial_\nu$$

así como$j^\nu$:

$$j'^\mu=\frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\nu}j^\nu=\Lambda^\mu{}_\nu j^\nu$$

Pero, ¿cómo vinculo estas ecuaciones con la 3d y llego a la 1ra?

¿Alguna pista?