¿Cuáles son las condiciones de contorno para las ondas EM que normalmente inciden en la interfaz entre dos medios dieléctricos?

Question

¿Cuáles son las condiciones de contorno para las ondas EM que normalmente inciden en la interfaz entre dos medios dieléctricos?

Física
electromagnetismo
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Harbin

Una onda EM, amplitud $E_0$ , frecuencia $\omega_0$ , incide sobre un material con permitividad relativa (función dieléctrica)

ε (z) = {\begin{matrix} ε_{0}, z < 0 \\ ε_{1}, z ⩾ 0 \end{matrix}

$\varepsilon \left( z \right) = \left\{ \begin{gathered}{\varepsilon _0},z < 0 \\{\varepsilon _1},z \geqslant 0 \\ \end{gathered} \right.$

ε_{0}

$\varepsilon _0$ y

ε_{1}

$\varepsilon _1$ son constantes,

ε_{0} < ε_{1}

$\varepsilon _0 < \varepsilon _1$ , z es la dirección perpendicular a la superficie del material. Si el ángulo de incidencia es 0 y

E

$\mathbf{E}$ es perpendicular al plano incidente, entonces

E

$E$ satisface

\frac{\partial^{2} mi (t, z)}{\partial t^{2}} - \frac{1}{C^{2}} \frac{\partial^{2} mi (t, z)}{\partial z^{2}} = 0 (1)

$\frac{{{\partial ^2}E\left( {t,z} \right)}} {{\partial {t^2}}} - \frac{1} {{{c^2}}}\frac{{{\partial ^2}E\left( {t,z} \right)}} {{\partial {z^2}}} = 0~~~(1)$ empiezo por adivinar

E

$E$ tiene la forma

mi (t, z) = {\begin{matrix} {mi}_{0} Exp (- i ω t + i k z) + R Exp (- i ω t - i k z), z < 0 \\ T Exp (- i ω t + i k z), z ⩾ 0 \end{matrix}

$E\left( {t,z} \right) = \left\{ \begin{gathered} {E_0}\exp \left( { - i\omega t + ikz} \right) + R\exp \left( { - i\omega t - ikz} \right) , \ z<0\\ T\exp \left( { - i\omega t + ikz} \right), \ z\geqslant0\\ \end{gathered} \right.$ luego determinar

R

$R$ y

T

$T$ con las ecuaciones de Fresnel.

Quiero saber cómo resolver la ecuación (1) con un montón de condiciones de contorno, sin "adivinar" la forma de solución. ¿Cuáles son las condiciones de contorno de forma completa? O tal vez las condiciones iniciales también

ProfRob

Su solución general también es incorrecta; consulte a continuación.

Respuestas (1)

¿Cuáles son las condiciones de contorno para las ondas EM que normalmente inciden en la interfaz entre dos medios dieléctricos?

Su solución general también es incorrecta; consulte a continuación.

ProfRob · Answer 1

Esto parece una forma increíblemente difícil de resolver lo que es un problema bastante fácil.

Si usa la ley de Faraday en forma integral, construyendo un pequeño bucle rectangular que entra y sale de la interfaz, es fácil demostrar que el componente del campo E que es perpendicular al vector de superficie normal (es decir, el E- campo paralelo al plano de interfaz) es el mismo inmediatamente a ambos lados de la frontera.

De manera similar, puede usar la forma integral de la ley de Ampere para mostrar que el campo H paralelo al plano de interfaz es continuo.

Al igualar el campo E y el campo H de la onda (incidente más reflejada) con la onda transmitida, se llega a las ecuaciones de Fresnel.

No creo que haya ninguna forma, dado el problema que has planteado, de que puedas resolver directamente la ecuación (1) para dar una solución exacta. Por ejemplo, cualquier combinación lineal de funciones de la forma $f(\omega t \pm kz)$ es una solución a la ecuación de onda.

Tampoco creo que tu ecuación de onda sea correcta. Es dimensionalmente incorrecto y debería cambiar en función de la permitividad relativa $\epsilon_r$ . Para medios no magnéticos, no conductores ( $\mu_r=1$ , $\sigma=0$ ) no debería ser

\frac{\partial^{2} mi (t, z)}{\partial t^{2}} - \frac{C^{2}}{ϵ_{r}} \frac{\partial^{2} mi (t, z)}{\partial z^{2}} = 0 ?

$\frac{{{\partial ^2}E\left( {t,z} \right)}} {{\partial {t^2}}} - \frac{c^2} {{{\epsilon_r}}}\frac{{{\partial ^2}E\left( {t,z} \right)}} {{\partial {z^2}}} = 0\ ?$

O si prefieres irte $c$ como representación de la velocidad de la luz en el medio

\frac{\partial^{2} mi (t, z)}{\partial t^{2}} - C (z)^{2} \frac{\partial^{2} mi (t, z)}{\partial z^{2}} = 0 ?

$\frac{{{\partial ^2}E\left( {t,z} \right)}} {{\partial {t^2}}} - c(z)^2 \frac{{{\partial ^2}E\left( {t,z} \right)}} {{\partial {z^2}}} = 0\ ?$

Otro problema es que su solución general es incorrecta . Si bien resulta correcto suponer que la frecuencia es la misma en ambos lados de la interfaz, no es correcto suponer que $k$ es igual en cada lado.

Gracias @Rob. Tienes razón. La ecuación (1) es dimensionalmente incorrecta. Debería ser c^2 no 1/c^2. Prefiero usar c como velocidad de la luz en los medios, no como una constante. Creo que aquí se puede omitir la permitividad relativa. Y la Ecuación (1) tiene una solución general f, ¿no podemos decidirla a partir de la condición de contorno? Deseo entenderlo más "matemáticamente".
@harbinn Pero no es una constante; si lo dejas como tal $c$ , ¿cómo realiza un seguimiento de los cambios en la interfaz? Las condiciones de contorno simplemente le dicen que los componentes paralelos de los campos E y H son continuos. Cualquier forma de $f$ esta permitido.

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