¿Cómo derivar las ecuaciones de Maxwell del Lagrangiano electromagnético?

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¿Cómo derivar las ecuaciones de Maxwell del Lagrangiano electromagnético?

Física
electromagnetismo
ecuaciones de maxwell
formalismo lagrangiano
principio variacional
electrodinámica-clásica

hombre de la lluvia

En unidades Heaviside-Lorentz las ecuaciones de Maxwell son:

\nabla \cdot \vec{mi} = ρ

$\nabla \cdot \vec{E} = \rho$

\nabla \times \vec{B} - \frac{\partial \vec{mi}}{\partial t} = \vec{j}

$\nabla \times \vec{B} - \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = \vec{J}$

\nabla \times \vec{mi} + \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = 0

$\nabla \times \vec{E} + \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = 0$

\nabla \cdot \vec{B} = 0

$\nabla \cdot \vec{B} = 0$

De la densidad lagrangiana EM:

L = \frac{- 1}{4} F^{m v} F_{m v} - j^{m} A_{m}

$\mathcal{L} = \frac{-1}{4} F^{\mu \nu}F_{\mu\nu} - J^\mu A_\mu$

Puedo derivar las dos primeras ecuaciones de la variación de la integral de acción: $S[A] = \int \mathcal{L} \, d^4x$ . ¿Es posible derivar las dos últimas ecuaciones a partir de él?

FraSchelle

@LarryHarson Como parece bastante molesto por la falta de claridad de las respuestas actuales, me gustaría hacer un resumen de ellas. Entonces la pregunta es si es posible derivar las ecuaciones de Maxwell sin fuente de la acción $S(A)$ . La respuesta es USTED NO NECESITA, porque están contenidos en la escritura

S (A)

$S(A)$ : son definición de los campos en términos de los potenciales. Eso es lo que todos los de abajo han tratado de decir: desde

F = d A

$F=dA$ , después

d F = 0

$dF=0$ , llamada la igualdad de Bianchi.

FraSchelle

@LarryHarson De lo contrario, ¿cómo podrías comenzar con una acción?

S (A)

$S(A)$ dependiendo del potencial , y termina con ecuaciones para campos , si no eliges

B = \nabla \times A

$B=\nabla\times A$ y

E = \partial A + \nabla ϕ

$E=\partial A + \nabla\phi$ ? Estos dos campos <-> relaciones potenciales\definiciones imponen

\nabla \cdot B = 0

$\nabla\cdot B =0$ y

\partial B + \nabla \times E = 0

$\partial B + \nabla\times E =0$ .

Respuestas (3)

¿Cómo derivar las ecuaciones de Maxwell del Lagrangiano electromagnético?

@LarryHarson Como parece bastante molesto por la falta de claridad de las respuestas actuales, me gustaría hacer un resumen de ellas. Entonces la pregunta es si es posible derivar las ecuaciones de Maxwell sin fuente de la acción $S(A)$ . La respuesta es USTED NO NECESITA, porque están contenidos en la escritura $S(A)$ : son definición de los campos en términos de los potenciales. Eso es lo que todos los de abajo han tratado de decir: desde $F=dA$ , después $dF=0$ , llamada la igualdad de Bianchi.
@LarryHarson De lo contrario, ¿cómo podrías comenzar con una acción? $S(A)$ dependiendo del potencial , y termina con ecuaciones para campos , si no eliges $B=\nabla\times A$ y $E=\partial A + \nabla\phi$ ? Estos dos campos <-> relaciones potenciales\definiciones imponen $\nabla\cdot B =0$ y $\partial B + \nabla\times E =0$ .

qmecanico · Answer 1

Suponga por simplicidad que la velocidad de la luz $c=1$ . La existencia del calibre. $4$ -potencial $A^{\mu}=(\phi, \vec{A})$ solo implica que las ecuaciones de Maxwell sin fuente

\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0'' sin monopolo magnético"

$\vec{\nabla} \cdot \vec{B} ~=~ 0 \qquad ``\text{no magnetic monopole"}$

\vec{\nabla} \times \vec{mi} + \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = \vec{0}'' ley de Faraday"

$\vec{\nabla} \times \vec{E} + \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} ~=~ \vec{0}\qquad ``\text{Faraday's law"}$

ya están idénticamente satisfechos. Para probarlos, basta con utilizar la definición del campo eléctrico

\vec{mi} := - \vec{\nabla} ϕ - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t},

$\vec{E}~:=~-\vec{\nabla}\phi-\frac{\partial \vec{A}}{\partial t},$

y el campo magnetico

\vec{B} := \vec{\nabla} \times \vec{A}

$\vec{B}~:=~\vec{\nabla}\times\vec{A}$

en cuanto al calibre $4$ -potencial $A^{\mu}=(\phi, \vec{A})$ .

Lo anterior se discute más naturalmente en una notación manifiestamente covariante de Lorentz . OP también podría encontrar interesante esta publicación de Phys.SE.

Así, para repetir, incluso antes de comenzar a variar la acción de Maxwell $S[A]$ , el hecho de que la acción $S[A]$ se formula en términos de calibre $4$ -potencial $A^{\mu}$ significa que las ecuaciones de Maxwell sin fuente se satisfacen idénticamente. Expresado de otra manera, ya que las ecuaciones de Maxwell sin fuente se implementan manifiestamente desde el principio en este enfoque, variando la acción de Maxwell $S[A]$ no afectará el estado de las ecuaciones de Maxwell sin fuente en absoluto.

prahar · Answer 2

Tenga en cuenta que desde $F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$ , tenemos la ecuación

\partial_{m} F_{v α} + \partial_{α} F_{m v} + \partial_{v} F_{α m} = 0

$\partial_\mu F_{\nu\alpha} + \partial_\alpha F_{\mu\nu} + \partial_\nu F_{\alpha\mu} = 0$ Esta ecuación se llama la Identidad de Bianchi. Esta ecuación es independiente de las ecuaciones de movimiento que se obtienen al variar la acción. Se puede demostrar que la ecuación de Bianchi es equivalente a las dos últimas ecuaciones que ha mencionado en su pregunta.

NOTA: Para profundizar en la respuesta de @ Qmechanic, el hecho mismo de que $F_{\mu\nu}$ Se puede escribir como $\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$ es en sí misma una consecuencia de las dos últimas ecuaciones.

-1 La pregunta plantea si es posible derivar las dos últimas ecuaciones usando la variación de la acción electromagnética.
@LarryHarson, ¿sabe que es completamente legítimo escribir respuestas parciales a una pregunta? Votar negativamente todas las respuestas que no responden completamente a la pregunta es casi trolear...
@LarryHarson: Dado que el OP ha aclarado lo que quería, su voto negativo no estaba justificado. Siga revisando esta respuesta todos los días para ver si se ha editado para que pueda revertir su voto negativo. . EDITAR: Veo que votaste a la baja después de la aclaración... ¿Cómo no responde esto a la pregunta? .
@LarryHarson: He editado la RESPUESTA <s>pregunta</s> ahora. Por favor, invierta su voto negativo.

alfredo centauro · Answer 3

Desde una perspectiva geométrica, las dos últimas ecuaciones son consecuencia de:

(1) F = dA (el tensor de Faraday es la derivada exterior de los cuatro potenciales)

(2) dd = 0 (la derivada exterior de la derivada exterior desaparece)

De este modo

(3) dF = 0

lo que da las dos últimas ecuaciones en tu pregunta.

Un comentario muy tardío: esta notación es tan sucinta que requiere un manual.

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