La divergencia en la serie QCD: ¿cuántos son y qué significan?

Permítanme comenzar con QED. Posteriormente me conectaré con QCD. Hay 4 tipos de divergencia en QED:

1. Divergencias ultravioleta. Los cálculos ingenuos dependen del corte de tal manera que van al infinito como lo hace el corte. Sin embargo, QED es una teoría perturbativamente renormalizable, por lo que los cálculos no ingenuos y bien hechos (ver regularización y renormalización ) dan resultados sensibles.

2. Poste Landau . La constante de acoplamiento$\alpha={e^2\over \hbar \, c}$, que es el parámetro de expansión en la serie perturbativa, crece con la energía y tiende al infinito para un valor finito de la energía. Resulta que este valor finito de energía es mayor que la escala electrodébil, donde QED se fusiona con la interacción débil y QED ya no es una buena teoría de la naturaleza. Por lo tanto, no es un problema real (fenomenológico).

3. divergencias infrarrojas . Estos se deben al hecho de que los fotones no tienen masa. Sin embargo, se anulan una vez que se tienen en cuenta todos los efectos que contribuyen a un observable medible.

4. Serie no convergente. los$n$-ésimo término de la expansión perturbativa es de la forma$\left({\alpha\over 2\pi}\right)^{n}\, (2n-1)!!$, por lo que la serie no es convergente sino asintótica porque el factor$(2n-1)!!$crece muy rápido para valores grandes de$n$. Esto significa que no podemos dar una definición no perturbativa de QFT sumando todos los términos de la serie. Sin embargo, los primeros términos son significativos y en realidad dan predicciones que concuerdan con precisión con las observaciones. Los 'primeros términos' son aproximadamente$n\sim {\pi\over \alpha}\sim 430$. Y por este valor de$n$,$\left({\alpha\over 2\pi}\right)^{n}\, (2n-1)!!\sim 10^{-187}$. Por lo tanto, mientras no estemos interesados ​​en una precisión de una parte en$10^{187}$, esto tampoco es un problema real. Tenga en cuenta que QED es la teoría de la naturaleza que se ha confirmado con mayor precisión: una parte en$10^{9}$en el dipolo magnético anómalo del electrón, para el cual$n=4$.

Para QCD los puntos 1, 3 y 4 son más o menos iguales. Sin embargo, el punto 2 no se aplica ya que en QCD la constante de acoplamiento$\alpha_s$disminuye con el aumento de la energía y, de hecho, llega a cero cuando la energía tiende al infinito. Véase libertad asintótica .

En resumen, las divergencias en el infrarrojo se deben a que no se tienen en cuenta los efectos que contribuyen a la magnitud observable. La naturaleza asintótica de las expansiones perturbativas de QFT impide una definición no perturbativa (exacta) de la teoría (a través de sus series), pero no supone un problema práctico a la hora de comparar predicciones con medidas. La falta de divergencias perturbativas y polos tipo Landau son una condición necesaria para que una teoría esté bien definida a energías arbitrariamente altas. Sin embargo, las teorías que contienen estas divergencias (ultravioleta o polos tipo Landau) aún pueden ser muy útiles a energías por encima de cierta escala. Por otro lado, las teorías sin estas divergencias (ultravioleta o polos tipo Landau), como QCD, no tienen por qué ser válidas para todas las energías como teorías de la naturaleza.

Como señala M. Brown en los comentarios, existe una relación entre los instantones y las renormalizaciones y la naturaleza asintótica de las series. Por favor, vea estas notas y las preguntas Instantones y Amplitudes No Perturbativas en Gravedad y Asintoticidad de la Expansión Pertubativa de QFT

Responder al comentario de Graviton: En mi opinión, una teoría fundamental de la naturaleza (sea lo que sea que signifique) debería tener una definición no perturbativa. Si la expansión perturbativa no es convergente, no puede proporcionar esta definición no perturbativa. Sin embargo, en principio, esto no significa necesariamente que la teoría no pueda tener una definición no perturbativa o una solución exacta, sino que esto debe darse por otros medios.