Cómo calcular Delta V para sobrevuelo lunar

He aquí cómo, utilizando una técnica cónica parcheada aproximada.

los$\Delta V$utilizando maniobras instantáneas (por ejemplo, propulsión química) se puede determinar mediante la aplicación repetida de esta ecuación que simplemente dice que la energía total es la suma de la energía cinética y la energía potencial:

$\mathcal{E}=\frac{v^2}{2}-\frac{\mu}{r}$

dónde$\mathcal{E}$es la energía total por unidad de masa del objeto o la "energía específica",$v$es la velocidad del objeto en la posición actual,$\mu$es el GM del cuerpo central, es decir, la constante gravitacional de Newton multiplicada por su masa, y$r$es la distancia actual desde el centro del cuerpo central.

La clave es que la energía total del objeto es una constante de movimiento sobre la órbita.

También usaremos el hecho de que las órbitas son elipses, y esta ecuación, que determina esa constante de movimiento a partir de los ábsides de la órbita, es decir, los radios de los puntos más cercanos y más lejanos de la órbita,$r_1$y$r_2$:

$\mathcal{E}=-{\mu\over r_1+r_2}$

Para una trayectoria de escape o entrada desde la trayectoria de escape:

$\mathcal{E}={v_\infty^2\over 2}$

dónde$v_\infty$es la velocidad en el infinito relativa al cuerpo.

Para este problema definimos:

$\mu_E$= GM de la Tierra.
$\mu_M$= GM de la Luna.
$r_E$= radio de órbita terrestre bajo.
$r_M$= radio de órbita lunar bajo.
$a_M$= semieje mayor (radio medio) de la órbita de la Luna alrededor de la Tierra.

Para simplificar, supondremos que la órbita de la Luna es circular, lo cual no está lejos de la verdad.

Usando lo anterior, en órbita terrestre baja tenemos para la velocidad orbital$v_{LEO}$:

$-{\mu_E\over 2r_E}=\frac{v_E^2}{2}-\frac{\mu_E}{r_E}$

lo que da:

$v_{LEO}=\sqrt{\mu_E\over r_E}$

La transferencia de Hohmann de la Tierra a la Luna es la mitad de una órbita elíptica alrededor de la Tierra con periapsis$r_E$y apoapsis$a_M$. para la velocidad$v$en cualquier radio$r$en esa órbita tenemos:

$-{\mu_E\over r_E+a_M}=\frac{v^2}{2}-\frac{\mu_E}{r}$

La velocidad en esa órbita de transferencia en el radio de una órbita terrestre baja, es decir, su periápside, es:

$v_p=\sqrt{2a_M \mu_E\over r_E\left(a_M+r_E\right)}$

La velocidad para salir de la órbita terrestre baja para entrar en la órbita de transferencia es entonces:

$\Delta V_{inject}=v_p-v_{LEO}$

Eso es todo lo que necesitas para volar por la Luna, que es el título de la pregunta. Aunque pregunta en el cuerpo de la pregunta cómo entrar en la órbita lunar baja. Necesitas otra maniobra y más propulsor para reducir la velocidad e insertarte en una órbita.

Aplicando lo que se hizo para LEO, la velocidad de la órbita lunar baja$v_{LLO}$es:

$v_{LLO}=\sqrt{\mu_M\over r_M}$

De manera similar, la velocidad de la Luna en su órbita alrededor de la Tierra es:

$v_M=\sqrt{\mu_E\over a_M}$

La velocidad en la órbita de transferencia en el radio de la Luna, es decir, su apoapsis, es:

$v_a=\sqrt{2r_E \mu_E\over a_M\left(a_M+r_E\right)}$

La velocidad relativa a la Luna al acercarse, si la Luna no estuviera allí, es:

$v_\infty=v_M-v_a$

Eso da la velocidad de aproximación cuando la Luna está allí, para cualquier radio desde la Luna:

${v_\infty^2\over 2}=\frac{v^2}{2}-\frac{\mu_M}{r}$

En el radio de una órbita lunar baja, esa velocidad es:

$v_L=\sqrt{\left(v_M-v_a\right)^2+{2\mu_M\over r_M}}$

Para insertarnos en órbita, debemos reducir la velocidad en relación con la Luna:

$\Delta V_{insert}=v_L-v_{LLO}$

El total$\Delta V$es entonces:

$\Delta V_{total}=v_p-v_{LEO}+v_L-v_{LLO}$

Conectando los números, y asumiendo altitudes de 200 km LEO y 100 km LLO, obtenemos:

$\Delta V_{inject}=3.13\,\mathrm{km\over s}$
$\Delta V_{insert}=0.82\,\mathrm{km\over s}$
$\Delta V_{total}=3.95\,\mathrm{km\over s}$

Esto está cerca de la respuesta que obtienes cuando haces una integración completa, permitiendo que la gravedad lunar comience a tirar de la nave espacial mucho antes de que llegue a la distancia de la Luna. Eso aumenta un poco la velocidad de la nave espacial en relación con la Luna, aumentando la$\Delta V$para insertar un poco.

Esta es una transferencia directa que puede completarse en días. Si está dispuesto a tomarse unos meses, hay menos$\Delta V$caminos que pasan por puntos de Lagrange generalizados . Puedes ahorrar en el orden de$0.1\,\mathrm{km\over s}$.

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Dado que este es un wiki de la comunidad, incluiremos cosas del enlace relevante para un sobrevuelo lunar y regreso. La trayectoria de la misión es la siguiente:

En cuanto al valor Delta v:

Antes de TLI, la nave espacial se encuentra en una órbita de estacionamiento circular baja alrededor de la Tierra. En este ejemplo, hemos asumido una altitud de órbita de estacionamiento de 185 kilómetros y un TLI delta-v de 3150 m/s .

Tenga en cuenta también que esto tiene una cierta altitud lunar asociada.

Pericynthion es el punto en la trayectoria de la nave espacial que está más cerca de la Luna. Para una trayectoria de retorno libre, la altitud en el pericinthion suele ser de unas 100 a 1500 millas náuticas (185 a 2800 km); consulte el diagrama. La altitud pericynthion en este ejemplo es de 1.446 kilómetros.

Si quisiera rozar la superficie de la luna, necesitaría ajustar los parámetros. Afortunadamente, hay suficientes para hacer eso. Las variables que puede controlar incluyen:

1. la velocidad que ganas por la quemadura en LEO
2. el momento en que haces esto.

Esto supone que todo está en un plano 2D, como en la imagen de arriba. Las cosas que necesitas controlar para hacer la misión (y evitar la muerte) incluyen:

1. la altitud mínima sobre la luna
2. el lugar del impacto en la Tierra

Los enumero porque la cantidad de variables que puede controlar es igual a la cantidad de variables que necesita controlar. Esto demuestra que se puede alcanzar cualquier distancia de sobrevuelo, pero también demuestra que necesita ajustar el tiempo de combustión para lograrlo. Entonces, para acercarse más a la luna, necesitaría cambiar su requerimiento de propulsor. Si eso lo haría más o menos, no lo sé.

No puede enviar algo directamente a una órbita alrededor de algo sin que se aplique algún cambio en la velocidad.

En primer lugar, se ha calculado bien el combustible necesario para entrar en órbita lunar y, de hecho, un sobrevuelo lunar. Wikipedia tiene estos valores tal como fueron calculados. LEO a LLO requiere 4,04 km/s delta V. Un sobrevuelo lunar solo requeriría un poco menos. No estoy muy seguro exactamente, pero la diferencia será menor que el delta V requerido para aterrizar después de alcanzar esa órbita, por lo que no más de 1,6 km/s.

La forma en que realmente lo calcularía es encontrar la velocidad de su órbita LEO, luego encontrar una tal que su nueva órbita apenas vaya más allá de la luna después de haber hecho su sobrevuelo. Esta ecuación es$v=\sqrt{\mu\left({2\over{r}}-{1\over{a}}\right)}$, como está documentado en Wikipedia . Para una órbita LEO circular de, digamos, 500 km, la velocidad inicial es$\sqrt{\frac{\mu}{r}}$, o 7,617 km/s. La velocidad en el mismo punto para una órbita lunar es de 10,7 km/s. Por lo tanto, el delta V requerido para hacer un sobrevuelo lunar es 10,7-7,617 = 3,084 km/s