¿Puede un "lanzamiento gratuito" desde un ascensor espacial ser realmente gratuito?

Este es un cálculo simple en la conservación del momento angular.

El momento angular de la esfera uniforme es${2\over 5}MR^2\omega$. Asumiremos que la Tierra es una esfera uniforme (lo suficientemente cerca para esta pregunta), por lo que$M=5.972\times 10^{24}\,\mathrm{kg}$,$R=6371\,\mathrm{km}$(media), y$\omega=7.292\times 10^{-5}\,\mathrm{s}$. Entonces el momento angular de la Tierra es$L_e=7.071\times 10^{33}\mathrm{kg\,m^2\over s}$.

El momento angular de un objeto pequeño que gira alrededor de un punto es$mr^2\omega$.$\omega$no cambia al subir al ascensor, solo$r$. Entonces el cambio en el momento angular es$\Delta L=m\omega(r_f^2-r_i^2)$.$\omega$es el de la Tierra arriba.

Para cambiar la tasa de rotación de la Tierra por$1\,\mathrm{s}$, necesitamos cambiar su momento angular por$1\over 86164$de lo que fue, entonces$\Delta L=8.206\times 10^{28}\mathrm{kg\,m^2\over s}$. Suponiendo un ascensor espacial en el ecuador y utilizando el radio ecuatorial de la Tierra,$6378\,\mathrm{km}$, y$100000\,\mathrm{km}$por encima de eso, obtenemos$\Delta L=8.206\times 10^{28}\mathrm{kg\,m^2\over s}=m\omega\left(\left(106378\,\mathrm{km}\right)^2-\left(6378\,\mathrm{km}\right)^2\right)$. En la medida en que$m$reduce (o aumenta)$M$, también hay un pequeño cambio en la tasa de rotación para el momento angular dado cuando se libera. Sin embargo, eso es insignificante aquí.

Esto se puede simplificar y aproximar, para ver mejor las sensibilidades, como:$m={2\over 5}M{\Delta T\over T}{R^2\over H^2}$, dónde$T$es el periodo de rotación de la Tierra,$\Delta T$es la pequeña cantidad por la que desea cambiarlo, y$H$es el radio del punto de liberación del ascensor.$m$es la cantidad de masa que se suelta en el punto de liberación para efectuar un cambio en el período de rotación de$\Delta T$.

Eso da$m\approx 10^{17}\mathrm{kg}$. Cerca de mil millones (estilo estadounidense) de sus portaaviones.

Si cada nave espacial del tamaño de un portaaviones solo llevara un puñado de personas, entonces podríamos evacuar a toda la población humana de la Tierra, solo ralentizando la Tierra en un segundo. Así que yo diría, a todos los efectos prácticos, sí, un ascensor espacial es gratis. Solo tienes que pagar la energía para subir a esa altitud, que es bastante pequeña en comparación con la energía de la velocidad que obtienes.

FWIW, estoy con Arthur C. Clarke en todo este asunto del "ascensor espacial". No hay un "almuerzo gratis" (¿o es un "lanzamiento gratis"?) con cualquier "ascensor espacial" que supuestamente sea capaz de tomar una carga útil con una masa no despreciable y con una resistencia del aire no despreciable en la atmósfera inferior. hasta la estratosfera y más allá. Realmente no importa dónde coloquemos este supuesto "ascensor espacial", así que tomaré algunos atajos para responder esto lo más fácil posible. Tómalo como es, no tengo ningún interés en hablar de "ascensores espaciales".

Para su primera pregunta, no hay un límite superior, salvo eliminar el total de la masa de la Tierra. La masa restante aún tendría una velocidad radial igual a la masa total anterior, solo que su potencial cinético disminuirá a medida que disminuya el giro de la masa, por lo que sería más propenso a cambios en su velocidad de rotación, si agregamos algo de esa masa nuevamente mas tarde.

La segunda pregunta también es relativamente fácil, si asumimos que el potencial cinético de la masa añadida en la dirección de rotación de la Tierra es igual a cero, es decir, se baja directamente perpendicular a la superficie de la Tierra y se deja caer en cualquiera de los polos (otra respuesta de @MarkAdler ya incluye cálculos para dejar caer la masa en el ecuador):

Así que esto sale como$1/86400$  de la masa de la Tierra ($5.972 * 10^{23} kg$), cual es$6.9123 * 10^{18} kg$, si mi entrada de datos fue correcta. Pero, por favor, vuelva a comprobarlo. ;)

Pero suponiendo que mi calculadora de bolsillo no mienta, esto resultaría como:

• 72.929.329.875 (casi 73 mil millones) de portaaviones USS Enterprise (CVN-65)
• 57.602.623.456.791 (unos buenos 57 billones y medio) de transbordadores espaciales totalmente cargados