¿Cómo F=Δ(mv)ΔtF=Δ(mv)ΔtF = \frac{ \Delta (mv)}{ \Delta t} es igual a (mΔvΔt)+(vΔmΔt)(mΔvΔt)+(vΔmΔt)( m \frac { \Delta v}{ \Delta t} ) + ( v \frac { \Delta m}{ \Delta t} )?

Aquí hay una visualización:

El momento es masa por velocidad, así que dibújalo como el área de un rectángulo:

Si cambiamos un poco la masa y la velocidad, cambiamos el impulso:

El cambio total en el impulso es la suma de los rectángulos verde, azul y morado. Sus tamaños son solo largo por ancho, por lo que en general tenemos

$\Delta p = m\Delta v + v\Delta m + \Delta v \Delta m$

Esta parece ser la respuesta que está buscando, excepto por el término adicional al final.

Supongamos que cortamos$\Delta m$y$\Delta v$hasta una décima parte de su tamaño actual. Entonces los dos primeros términos se vuelven una décima parte de su tamaño, pero$\Delta m \Delta v$se convierte en una centésima parte de su tamaño. La caja morada se encoge mucho más rápido que las azules y verdes. Por lo tanto, para cambios muy pequeños, podemos ignorar el cuadro morado y escribir

$\Delta p = \Delta(mv) = m\Delta v + v\Delta m$

normalmente indicamos este procedimiento limitante cambiando el$\Delta$a$\mathrm{d}$, entonces

$\mathrm{d} p = \mathrm{d}(mv) = m\mathrm{d} v + v\mathrm{d} m$

Solo es verdad cuando los cambios$\Delta t$,$\Delta v$,$\Delta m$son pequeños y entonces se conoce como la regla de Leibniz, la regla para la derivada de un producto, que Leibniz (pero también Newton) descubrió cuando inventaron el cálculo hace 3 siglos.

Solo mira esta prueba:

$$\frac{\Delta (mv)}{\Delta t} = \frac{(mv)_{new} - (mv)_{old}}{\Delta t} =\frac{(m_{old}+\Delta m)(v_{old}+\Delta v)-m_{old}v_{old}}{\Delta t} = \dots$$ Aquí acabo de usar $x_{new}=x_{old}+\Delta x$que vale para $X=m,v,t,mv$O algo más. El nuevo valor es el valor anterior más el incremento.

Pero ahora, expanda los productos de los paréntesis a través de la ley de distribución. Usted obtiene;

$$=\dots \frac{m_{old}\Delta v+ \Delta m v_{old}+\Delta m\,\Delta v}{\Delta t}$$ porque el término $m_{old}v_{old}$cancelado (fue sustraído). Ahora bien, si cada $\Delta X$es significativamente menor que $X$, por ejemplo, 100 veces, entonces $\Delta m \,\Delta v$es 10.000 veces más pequeño y puede despreciarse por completo. Así que solo te quedan los primeros dos términos en el numerador y te dan exactamente los dos términos que querías encontrar.

Entonces el aumento de$mv$se obtiene ya sea de un aumento de$m$o de un aumento de$v$. La ecuación simplemente codifica esta simple observación cuantitativamente.

La idea sobre la derivación de este libro escolar es que puedes cambiar el momento cambiando la velocidad (caso común) o cambiando la masa.

Dado que puede cambiar el impulso del sistema (cohete más gases) solo por la fuerza externa, y en el caso del cohete no hay fuerza externa (desprecie la gravedad por un momento), entonces la pregunta es, ¿por qué el cohete se vuelve más rápido y más rápido? ¿más rápido?

$$F_\text{ext} = \frac{\text{d}p}{\text{d}t} = m \frac{\text{d}v}{\text{d}t} + v \frac{\text{d}m}{\text{d}t} = 0,$$

$$m \frac{\text{d}v}{\text{d}t} = - v \frac{\text{d}m}{\text{d}t}.$$

Una contribución importante proviene del hecho de que a medida que el cohete empuja los gases, efectivamente disminuye su masa (lado derecho de la ecuación). Si se conserva la cantidad de movimiento, esto significa que la velocidad del cohete aumenta (lado izquierdo de la ecuación).