Descarga de un condensador a través de una resistencia y un LED en serie

No leí toda su pregunta, que parecía hacer todo lo posible para complicar algo simple. Según tengo entendido, tiene un condensador, una resistencia y un LED en serie, y desea saber cómo se descomponen las cosas si el condensador comienza cargado inicialmente.

En una primera aproximación, puede considerar el LED como una fuente de voltaje. Eso significa que la corriente decaerá como si el LED no estuviera allí y la tapa se cargara hasta el voltaje del LED menos de lo que realmente era. Este es ahora un sistema RC simple que sigue un decaimiento exponencial básico con una constante de tiempo de RC, que parece que ya entiendes. La cuestión de cuándo el LED se "apaga" se reduce a qué corriente considera que el brillo es lo suficientemente bajo como para estar apagado. Esto puede variar mucho según la eficiencia del LED, el nivel de luz ambiental y cuán obvio se supone que es "encendido". Por ejemplo, si la tapa se carga inicialmente para que la corriente inicial sea de 20 mA (un máximo común para los LED) y considera que 1 mA es el nivel de "apagado", entonces el tiempo de encendido será el 95% del tiempo de caída, que es 3.0 constantes de tiempo

Como dije, esta fue la primera aproximación básica donde el LED tiene un voltaje fijo a través de él. Eso será en gran medida cierto, pero, por supuesto, su voltaje caerá un poco con la corriente. Para fines prácticos, este es un efecto pequeño en comparación con la pendiente de decidir qué nivel de corriente "apagado" es realmente, a menos que esa corriente sea pequeña, como menos de un mA.

La respuesta de Olin te dice cómo pensarías sobre esto en el mundo real. Pero configuraste esto como un problema de álgebra, así que responderé en términos de analizar el problema matemáticamente.

Primero, dibujemos el circuito para que podamos estar seguros de que estamos hablando de lo mismo:

Designé uno de los nodos del circuito como tierra y designé los otros dos como "1" y "2" para que podamos hablar, por ejemplo, de U 1 _y U ₂ y saber de qué estamos hablando. Definiré la corriente a través del bucle del circuito como positiva cuando fluye en el sentido de las agujas del reloj, sale del condensador y atraviesa el diodo desde el ánodo hasta el cátodo.

Ahora puede configurar ecuaciones como sugirió:

Primero, como usted sugirió,

(a)$\dfrac{dU_1(t)}{dt} = -I(t) / C$

Entonces, para la resistencia,

(b)$I(t) = \dfrac{1}{R}(U_1(t) - U_2(t))$,

Finalmente, para el diodo, usando la ecuación de diodo de Shockley,

(C)$I(t) = I_s(\exp(\dfrac{U_2(t)}{nV_T}) - 1)$.

Aquí, Is y n son parámetros _del propio diodo.

Como descubriste, no hay ninguna solución de forma cerrada para estas ecuaciones. Ecuaciones como estas normalmente se "resuelven" usando integración numérica. El método más conocido para resolver este tipo de ecuaciones se conoce como " integración de Runge-Kutta de cuarto orden ".

Por supuesto, no tiene que escribir su propio solucionador de Runge-Kutta para resolver este problema, simplemente puede configurar el circuito en un programa de análisis como LTSpice, que ya incluye este tipo de solucionador.