No, su verdadero nombre es Harry James Potter, no Henry.

No hay evidencia de que su verdadero nombre sea Henry. A lo largo del libro siempre se le llama Harry. Y sus resultados oficiales de OWL se refieren a él como Harry.

Harry James Potter ha logrado

_{Harry Potter y el Misterio del Príncipe, Capítulo 5}

Como este es un documento oficial, es casi seguro que usaría su nombre legal/oficial (como lo demuestra la inclusión de su segundo nombre). Entonces su nombre es solo Harry, no Henry.

Como señaló Ratchet Freak en los comentarios, esto también sucede durante su juicio en La Orden del Fénix .

Era una insignia plateada cuadrada con Harry Potter, Audiencia Disciplinaria.

_{Harry Potter y la Orden del Fénix, Capítulo 7}

"¿Eres Harry James Potter, del número cuatro, Privet Drive, Little Whinging, Surrey?" dijo Fudge, mirando a Harry por encima de su pergamino.

_{Harry Potter y la Orden del Fénix, Capítulo 8}

Sin duda, un tribunal de justicia usaría su nombre oficial, en lugar de un apodo (nuevamente evidenciado por la inclusión de su segundo nombre).

La última voluntad de Dumbledore establece claramente que es Harry

“La Última Voluntad y Testamento de Albus Percival Wulfric Brian Dumbledore”…sí, aquí estamos…”a Ronald Bilius Weasley, le dejo mi Desiluminador, con la esperanza de que se acuerde de mí cuando lo use.
"Para Harry James Potter", leyó, y las entrañas de Harry se contrajeron con una emoción repentina, "dejo la snitch que atrapó en su primer partido de Quidditch en Hogwarts, como un recordatorio de las recompensas de la perseverancia y la habilidad". _{Harry Potter y las Reliquias de la Muerte, Capítulo 7 (El testamento de Albus Dumbledore)}

Nótese que Dumbledore le deja el Desiluminador a Ronald Bilius Weasley y el soplón a Harry James Potter

A continuación, tenemos la audiencia con una lista larga y agradable de nombres completos, observe que Harry todavía se llama Harry

"Audiencia disciplinaria del 12 de agosto", dijo Fudge con voz resonante, y Percy comenzó a tomar notas de inmediato, "sobre delitos cometidos bajo el Decreto para la Restricción Razonable de la Hechicería de Menores y el Estatuto Internacional del Secreto de Harry James Potter , residente en el número cuatro de Privet Drive, Little Whinging, Surrey. 'Interrogadores: Cornelius Oswald Fudge, Ministro de Magia; Amelia Susan Bones, Jefa del Departamento de Cumplimiento de la Ley Mágica; Dolores Jane Umbridge, Subsecretaria Principal del Ministro”.
_{Harry Potter y la Orden del Fénix, Capítulo 8 (La Audiencia)}

Además, el árbol genealógico de Pottermore respalda que es Harry

Como puede ver en la imagen de abajo, Harry aparece como Harry.

Mientras que el bisabuelo de Harry, un Henry Potter fue:

Henry Potter (Harry para sus íntimos)
_{Familia Potter - Pottermore}

Esto parece sugerir que, de hecho, fue "bautizado" Harry.