¿Cómo se nos ocurre la fórmula de asistencia por gravedad (o tirachinas)?

Obtienes esa fórmula simplemente usando el teorema de Pitágoras, también conocido como suma de vectores. El enlace ya proporciona$v_{2x}=v_1\cos\theta+2u$y$v_{2y}=v_1\sin\theta$. Entonces simplemente calculas la magnitud$v_2=\sqrt{v_{2x}^2+v_{2y}^2}$.

Por lo general, el cuerpo que se muestra como un disco rojo en el diagrama es mucho, mucho, mucho más masivo que la cosa que sigue la trayectoria curva negra. En ese caso, la masa del objeto más pequeño no influye en la trayectoria.

En cuanto a la "altitud", la distancia de aproximación más cercana desde el centro del cuerpo, junto con la velocidad de aproximación y la masa del cuerpo grande, determina$\theta$. Vea esta respuesta para saber cómo calcularlo. ($\delta$hay$\pi-2\theta$aquí). Por supuesto, es importante que la distancia de aproximación más cercana desde el centro del cuerpo sea mayor que el radio del cuerpo, para que no tenga un swing muy violento y de duración extremadamente corta.

Necesitamos tener en cuenta el término velocidad relativa. Donde Vi es la velocidad relativa inicial y Vf es la velocidad relativa final.

Vi = V1 + U

Vf = -V2 + U

Como Vi = -Vf entonces V1 + U = V2 - U ; después de hacer algo de álgebra simple, obtenemos que V2 = V1 + 2U Donde V2 es la velocidad final del transbordador espacial, V1 es la velocidad inicial y U es la velocidad orbital del planeta al que se ha acercado el transbordador espacial para hacer una honda.

Es instructivo analizar el encuentro desde el sistema inercial en reposo relativo al planeta ² ; este sistema de inercia se mueve con la velocidad del planeta$U$en relación con el observador "en reposo". Esto es posible porque la física no cambia cuando los miramos desde otro sistema inercial.

Desde el punto de vista del planeta, el encuentro no es espectacular: una pequeña sonda se acercará, realizará un giro en U y luego se irá con la misma velocidad, ¹ que llamamos$v_{rel}$(Vor velocidad relativa , relativa al planeta).

Ahora transforme las velocidades relativas de la sonda a las que ve un observador "en reposo", simplemente compensando el movimiento del planeta restando su vector de velocidad. Esto significa

• reste la velocidad del planeta de la sonda que se aproxima (porque su acercamiento parece más rápido visto desde el planeta de lo que "realmente" es, ya que el planeta "realmente" se está moviendo hacia él);
• y agregue la velocidad del planeta a la sonda que sale (su salida parece más lenta del planeta porque el planeta lo sigue).

Voilà, el resultado: la velocidad de la sonda que se aproxima desde el punto de vista de un observador es$v_{rel}-U$y la velocidad de salida es$v_{rel}+U$, una diferencia de 2U.

Este mecanismo es lo que hace que las bolas apiladas reboten alto y, como muestra la página vinculada, se puede entender con el mismo cambio de sistemas de inercia.

_{² El planeta está en una órbita elíptica, por lo que estrictamente hablando no es el origen de un sistema inercial; pero el error durante el breve encuentro es pequeño. Después de todo, solemos considerar sistemas inerciales en las aulas de física, aunque ciertamente no lo son...}