¿Por qué la frecuencia central de un filtro de paso de banda viene dada por el promedio geométrico de las dos frecuencias de corte?

¿Por qué la frecuencia central de un filtro de paso de banda está dada por el promedio geométrico de las dos frecuencias de corte en lugar del promedio aritmético?

Porque son las proporciones las que son relevantes, no los incrementos.

Por ejemplo, si tiene un filtro de paso de banda de 2 kHz a 20 kHz, cubre un rango de 10:1. El centro está entonces a mitad de camino entre estos en términos de proporción, que es (raíz cuadrada de 10) = 3,16. Esto pone la frecuencia central en (2 kHz)*3,16 = 6,32 kHz. La habitación entre el centro y ambos extremos es la misma:

  (20 kHz)/(6,32 kHz) = 3,2
  (6,32 kHz)/(2 kHz) = 3,2

Bueno, una respuesta simple es que no puede hacer una frecuencia central de 100 Hz con un ancho de banda de 3 dB de 200 Hz porque choca con DC. Tienes que tratarlo logarítmicamente. Habiendo dicho eso, muchos filtros de paso de banda son muy "ajustados" y numéricamente hay poca diferencia entre que la frecuencia central esté en el medio o$\sqrt{f_1.f_2}$

A continuación, trato de describir la forma de derivar la fórmula deseada (valor medio geométrico).

• Comience con la función de paso de banda clásica de segundo orden (que involucra el factor de calidad de polo de parámetro Qp y la frecuencia de polo wp).

• Reemplace la variable w por wc (corte de 3dB) y, al mismo tiempo, establezca la magnitud de la función de transferencia en A=Amax/SQRT(2).

• Como resultado, tienes una ecuación cuadrática para wc que se puede resolver.

• El resultado es una ecuación para las dos frecuencias de corte de la forma:

wc1=-X+SQRT(X²+wp²) y wc2=+X+SQRT(X2+wp²) con X=wp/2Qp .

• Es fácil demostrar que wc1*wc2=wp²

• Tenga en cuenta que wp = wo (la frecuencia de polo es idéntica a la frecuencia de banda media).

EDICIÓN 1: olvidé mencionar que la ganancia máxima Amax en la frecuencia central es la relación entre el numerador y el término medio (jw) del denominador (porque los términos más a la izquierda y más a la derecha se cancelan entre sí en w = wp).

EDIT 2: Aquí viene una explicación más descriptiva del hecho de que la distancia de ambas frecuencias de corte (wc1, wc2) a la frecuencia central wo es diferente:

La función de transferencia de paso de banda es cero para (a) frecuencias infinitas y (b) para w=0. Está claro que el "camino" desde la frecuencia central wo hasta frecuencias infinitas es mucho mayor (infinito) si se compara con la distancia hasta w=0.

Eso significa: la disminución de la magnitud en la dirección hacia frecuencias más grandes es "más suave" que en la dirección hacia w=0. Por esta razón, la diferencia de frecuencia entre la frecuencia de corte superior wc2 y la frecuencia central wo (wc2-wo) es mayor que la diferencia (wo-wc1).

Por esta razón (sin simetría a ambos lados de wo), la frecuencia central wo NO es el valor medio aritmético de ambas frecuencias de corte. (La gráfica de magnitud de la función de transferencia frente a la frecuencia parece simétrica solo en el caso de una escala de frecuencia logarítmica):

wo=wp=SQRT(wc1*wc2)

log(wo)=[log(wc1)+log(wc2)]/2

Lo importante es que los filtros generalmente se representan utilizando una escala de frecuencia logarítmica (piense, por ejemplo, en diagramas de Bode). Veamos en qué se convierte la media aritmética en una escala logarítmica:

Ahí lo tienes: la media aritmética de los logaritmos es equivalente al logaritmo de la media geométrica.