¿Cuál es exactamente el significado numérico (o cualquiera) de la inductancia mutua y, es útil, representativa (de algo) o importante?

Si está escribiendo ecuaciones de malla para un circuito que contiene un transformador (o inductores acoplados), el uso de la inductancia mutua conduce a una formulación simple para la diferencia de potencial a través de una rama que contiene uno de los inductores.

por ejemplo si$V_1$es el voltaje a través de la rama formada por el inductor L1 y$V_2$es el voltaje a través de L2, con inductancia mutua$M$entre los dos inductores, entonces

O, en el dominio de la frecuencia

Por supuesto, no se pierde información si sustituye$M=k\sqrt{L_1L_2}$, pero la ecuación tiene una forma más simple si la condensa en un término en lugar de tres términos con una raíz cuadrada para calcular.

Además, las primeras tres o cuatro páginas que encontré buscando en Google (esa era parte de la pregunta, ¿no?) todas definen$M$primero y luego definir$k$en términos de$M$. Presumiblemente, esta fue la forma histórica en que se desarrollaron los términos como se describe en la respuesta del usuario 4574. Entonces, un beneficio de definir la inductancia mutua es darle algo a partir de lo cual definir el factor de acoplamiento.$k$, si prefiere formular sus ecuaciones en términos de$k$.

Nunca he encontrado que M sea útil y no entiendo por qué parece tener tanta prominencia.

Una de las razones por las que M disfruta de tanta prominencia es porque formaba parte de la publicación original de Maxwell sobre electrodinámica. La primera aparición conocida de M en la literatura de la que tengo conocimiento está justo en la publicación de Maxwell de 1865 "Una teoría dinámica del campo electromagnético" (consulte la página 468).

¿Solo sirve para calcular la inductancia neta de dos inductores acoplados?

Maxwell lo expone con bastante claridad en su publicación (aunque su terminología es un poco arcaica).

Para dos circuitos (inductores) A ​​y B. El momento electromagnético perteneciente a A es...

L*x + M * y

El momento electromagnético perteneciente a B es...

M*x + N * y

La ecuación para la corriente x en A es...

v = R * x + d/dt(L * x + M * y)

La ecuación para la corriente y en B es...

n = S * y + d/dt(M * x + N * y)

donde v y n son las fuerzas electromotrices (voltajes), x e y son las corrientes, y R y S son las resistencias en A y B respectivamente.

La implicación de la ecuación es que el voltaje en un inductor consta de tres componentes.

1. Una parte resistiva I *R.
2. Una inductancia * di/dt parte de sí misma
3. Una inductancia mutua * di/dt de la corriente en el otro inductor.

Entonces, básicamente, el punto de la inductancia mutua es que si cambio la corriente en un inductor, provoca un voltaje en el otro, que es proporcional a M y la tasa de cambio en la corriente. Esta es, por supuesto, la base para un transformador.

Además, tenga en cuenta que la inductancia suele ser proporcional al cuadrado del número de vueltas, por lo que M es proporcional a la raíz cuadrada de la inductancia de cada devanado.

Puede ser cierto que M no sea importante en transformadores o inductores acoplados.

Si alguien puede presentar un ejemplo de EE donde M es claramente un beneficio sobre variables más pragmáticas, sería bueno.

1. Aquí hay un ejemplo donde M podría ser útil.

Considere un ejemplo de dos bobinas de núcleo de aire de múltiples vueltas colocadas a distancia en una aplicación de carga inalámbrica. Si necesita diseñar las bobinas de carga inalámbricas para que tengan el rendimiento/las características deseadas, necesita calcular M y se vuelve útil. (Fuentes de la imagen: 1 y 2 )

Digamos que el espacio entre dos bobinas varía entre 4 cm y 6 cm, el diámetro máximo de las bobinas debe ser inferior a 10 cm. El objetivo del diseño es optimizar los parámetros de la bobina, como el diámetro, el número de vueltas, el paso de vuelta, etc., para lograr la mejor eficiencia de transferencia de energía a una potencia de salida dada. ( Fuente de la imagen de la fórmula ).

Ahora la potencia de salida y la eficiencia son:

Primero debe calcular la inductancia mutua utilizando integrales elípticas , por ejemplo: ( Fuente de imagen de fórmula ).

Con este cálculo de M (y, por supuesto, las formas conocidas de calcular las resistencias de las bobinas), puede implementar un problema de optimización completo en función de las distancias y los parámetros geométricos de las bobinas.

En este ejemplo, no puede usar el coeficiente de acoplamiento directamente ya que el valor del acoplamiento depende de la distancia y los parámetros de la bobina de manera no lineal.

2. Significado de M

Aunque escribimos como$M=k \sqrt{L_1 L_2}$, de hecho, la cantidad física fundamental es$M$porque: ( fuente de la imagen )

$k$es un coeficiente derivado para comprender el porcentaje de acoplamiento. Sería más apropiado expresar$k=M/ \sqrt{L_1 L_2}$, al menos en el ejemplo anterior.

¿Cuál es exactamente el significado numérico (o cualquiera) de la inductancia mutua?

Entonces, un inductor de 9 μH y 4 μH 100% acoplado tiene una inductancia mutua de 6 μH. Pero, ¿qué representan los 6 μH?

Entonces, ¿M (inductancia mutua) tiene un significado útil numérico (o cualquier otro)?

Como sabemos, para un sistema de dos inductores, el voltaje total en cada bobina es:

$v_1(t) = L_1 i_1'(t) \pm M i_2'(t) \tag 1$

$v_2(t) = L_2 i_2'(t) \pm M i_1'(t) \tag 2$

Supongamos que una bobina se mantiene en circuito abierto mientras aplicamos una corriente variable en el tiempo a la otra bobina. Luego, por separado, las ecuaciones anteriores se simplifican a:

$v_1(t) = \pm M i_2'(t) \tag 3$

$v_2(t) = \pm M i_1'(t) \tag 4$

Los signos más-menos representan el hecho de que el voltaje inducido por inducción mutua ( es decir , en una bobina debido a la otra bobina) depende de la orientación espacial relativa de los dos devanados, es decir, depende de la posición de los puntos. Por supuesto, también depende de la dirección de referencia de ambas corrientes y de la polaridad de referencia de ambas tensiones.

Ahora suponga que la tasa de cambio de la corriente en una bobina es de 1 amperio por segundo. Luego, ignorando las unidades, las ecuaciones anteriores se simplifican por separado a:

$v_1(t) = \pm M \tag 5$

$v_2(t) = \pm M \tag 6$

De las dos ecuaciones anteriores (5) y (6), la conclusión es: la inductancia mutua entre dos inductores le indica los voltios inducidos en una bobina de circuito abierto cuando cambiamos (linealmente, es decir, a una tasa constante) la corriente en la otra bobina por un amperio en un segundo . Por supuesto, si dicho cambio en la corriente no es de un amperio, lo que suele ser el caso, entonces debemos usar las ecuaciones. (3) y (4).

Entonces, para el sistema de dos inductores de su pregunta, usando eqs. (5) y (6), el$M$= 6 μH significa que se inducen 6 voltios en una bobina (de circuito abierto), cuando cambiamos linealmente la corriente en la otra bobina en 1 amperio en 1 segundo (incluso si el coeficiente de acoplamiento no es 100% como su ejemplo). Más generalmente (ecuaciones (3) y (4)), la$M$= 6 μH significa que, cuando cambiamos linealmente la corriente en una bobina por$\Delta I$amperios en 1 segundo,$6 \cdot \Delta I$se inducen voltios en la otra bobina (de circuito abierto).

Por ejemplo, considere el siguiente circuito, en el que$L_1$= 7H,$L_2$= 4H y$M$= 3 H. (Sé que esos números son grandes, pero no importa en esta discusión). Observe que de$t_1$= 1 s a$t_2$= 2 s (entonces el cambio en el tiempo es$\Delta t$= 1 s), la corriente en$L_1$cambios de$I_1$= 0,5 A a$I_2$= 1 A, por lo que el cambio en la corriente es$\Delta I$= +0,5 A, por lo que la tensión inducida en$L_2$es$M \cdot \Delta I = 3 \cdot 0.5 = 1.5$voltios

Figura 1. Fuente de la imagen: propia.

[...] y, ¿es útil

Nos permite usar ecuaciones de circuito (ecuaciones que involucran corrientes y voltajes solamente, que son funciones escalares de variables escalares) en lugar de usar directamente las ecuaciones de Maxwell (ecuaciones que involucran campos eléctricos y magnéticos, que son funciones vectoriales de variables vectoriales y escalares, que son más difíciles resolver).

Tenga en cuenta que muchos libros de texto de análisis de circuitos (Sadiku, Dorf, Hayt, Irwin, Nilsson, Thomas, Van Valkenburg...) comienzan definiendo la inductancia mutua, luego introducen el coeficiente de acoplamiento definiéndolo como una relación de dos cantidades medidas en unidades de henrys (inductancia mutua y la media geométrica de las autoinductancias, donde las tres inductancias pueden derivarse de las ecuaciones de Maxwell). Es algo similar a cómo el factor de potencia se define como una relación de dos cantidades medidas en vatios (potencia activa y potencia aparente, las cuales se definen de forma independiente). (Sí, sé que la potencia aparente se mide en voltios-amperios, pero eso es exactamente equivalente a vatios; usamos VA para aparente para no confundirlo con potencia activa).

Como mostró en la parte 3 de su respuesta , podemos formular las ecuaciones del circuito en términos de la inductancia mutua y las autoinductancias, o en términos del coeficiente de acoplamiento (que depende de la inductancia mutua y las autoinductancias) y la relación de espiras (que depende de las autoinductancias). Cualquiera de las dos formas es igual de útil en el sentido de que nos permite seguir trabajando solo con variables de circuito (voltajes y corrientes).

Tal vez de una manera (usando$k$y$N$) es más práctico que el otro (usando$M$y$L_1$y$L_2$, como mostró) porque produce ecuaciones más cortas, pero eso no hace que el último sea menos útil. Y para el caso, podríamos sustituir$k = M/\sqrt{L_1 L_2}$y$N = \sqrt{L_2/L_1}$, para ver que nuestras ecuaciones aún dependen de$M$,$L_1$y$L_2$.

Aquí hay otra forma en que veo esto. Si cambiamos la corriente en una bobina, descubrimos que se induce un voltaje en la otra bobina en circuito abierto, en otras palabras, el voltaje inducido es directamente proporcional a la tasa de cambio de la corriente:$v_2(t) \propto i_1'(t)$. La inductancia mutua simplemente nos permite escribir esta proporcionalidad como una ecuación:$v_2(t) = M i_1'(t)$. Yo diría que esto es análogo a cómo Georg Ohm descubrió que, en algunos dispositivos bajo ciertas circunstancias, el voltaje a través del dispositivo es directamente proporcional a la corriente a través del dispositivo ($v(t) \propto i(t)$); luego introdujo la resistencia (estática/CC) como la constante de proporcionalidad, para permitirnos escribir la proporcionalidad como una ecuación:$v(t) = R i(t)$. Entonces, la inductancia mutua es lo que nos permite relacionar las corrientes cambiantes con los voltajes inducidos, por eso es útil.

representante (de algo)

Cualitativamente (solo en palabras, sin números), la inductancia mutua entre dos bobinas es la capacidad de un inductor para inducir un voltaje en el otro inductor y viceversa.

Para una explicación cuantitativa, lo repetiré: la inductancia mutua entre dos inductores te dice los voltios inducidos en una bobina en circuito abierto cuando cambiamos linealmente la corriente en la otra bobina en un amperio en un segundo.

Las interpretaciones anteriores de inductancia mutua son análogas a la autoinducción. Cualitativamente, la autoinducción de una bobina es la capacidad de una corriente variable en el tiempo en la bobina para inducir un voltaje a través de la bobina. Cuantitativamente, la autoinducción de una bobina te dice los voltios inducidos en la bobina cuando cambiamos linealmente la corriente en la bobina en un amperio en un segundo.

o importante?

$M$(y$L_1$y$L_2$) es tan importante como$k$(y$N$) para establecer las ecuaciones del circuito. Puedes usar uno u otro.

¿Representa algo que es importante para nosotros?

¿Que es importante para ti? ¿Consideras importante la resistencia? Porque podemos escribir ecuaciones de circuito en términos de conductancia$G$en lugar de resistencia$R$, al igual que podemos escribir las ecuaciones del circuito en términos de$k$en lugar de$M$.

¿Es solo de (alguna) utilidad al calcular la inductancia neta de dos inductores acoplados?

Hasta donde yo sé, el único propósito de calcular la inductancia neta es simplificar los inductores conectados en serie o en paralelo. Pero podemos usar$M$incluso cuando los inductores no están ni en serie ni en paralelo, como se muestra en el siguiente circuito.

Figura 2. Fuente de la imagen: propia.

Parte 2: no necesita usar M (acoplamiento inferior al 100%)

Usted ha dicho que usando$k$es mas simple que$M$. ¿De verdad crees que hacer el procedimiento que mostraste en la parte 2 de tu respuesta es más simple que simplemente usar$M$? En su procedimiento (que se muestra como una imagen), tuvo que 1) manipular las autoinductancias y la inductancia mutua; 2) convertir las inductancias de los nuevos inductores acoplados en vueltas; 3) combinar los turnos; 4) convertir los giros equivalentes a una inductancia equivalente. ¿No crees que es más fácil de usar?$M$en cambio, ya que no necesita hacer ninguna conversión ni manipulación?

Además, incluso si consideró que su método de la parte 2 es más simple, creo que no puede aplicarlo para inductores que no están en conexiones en serie o en paralelo de ayuda u oposición, como las de la figura 2 de esta respuesta .

Editar

Aquí hay otra forma en que algunas personas (como yo) ven esto$M$-vs-$k$disputar.

Como sabemos, la resistencia (estática/CC) se define como la relación$R = V_{ab}/I$. Podemos usar la teoría electromagnética para encontrar una expresión para la resistencia en términos del material del conductor (usando la resistividad$\rho$o conductividad$\sigma$) y la geometría del conductor (usando la longitud$L$, la superficie$S$, etc.) Por ejemplo, si queremos encontrar la resistencia de un conductor cilíndrico, y si suponemos que el conductor tiene un campo eléctrico uniforme$\mathbf E$y densidad de corriente uniforme$\mathbf J$, entonces podemos encontrar la resistencia de la siguiente manera. el voltaje es:

$\begin{align} V_{ab} &= \displaystyle\int_a^b {\mathbf E} \cdot {\mathrm d} {\mathrm l} \\ &= \displaystyle\int_a^b E {\mathrm d} l \cos{(\theta)} && \text{expand dot product} \\ &= \displaystyle\int_a^b E {\mathrm d} l && \text{electric field is parallel to length vector} \\ &= E \displaystyle\int_a^b {\mathrm d} l && \text{electric field is independent of length} \\ &= E L && \text{integrate the differential length} \end{align}$

la corriente es:

$\begin{align} I &= \int_S {\mathbf J} \cdot {\mathrm d} {\mathbf S} \\ &= \int_S J {\mathrm d} S \cos{(\theta)} && \text{expand dot product} \\ &= \int_S J {\mathrm d} S && \text{current density is parallel to surface vector} \\ &= J \int_S {\mathrm d} S && \text{current density is independent of area} \\ &= J S && \text{integrate the differential surface} \end{align}$

y sustituyendo los dos resultados anteriores para la corriente y el voltaje en$R = V_{ab}/I$, obtenemos:

$\begin{align} R &= \dfrac{EL}{JS} \\ &= \dfrac{EL}{(\sigma E) S} && \text{substitute $J = \sigma E$} \\ &= \dfrac{L}{\sigma S} && \text{simplify} \\ &= \dfrac{\rho L}{S} && \text{substitute $\sigma = 1/\rho$, if desired} \end{align}$

que es una fórmula bien conocida. (Fin del ejemplo.)

Para la capacitancia, definimos la capacitancia entre dos conductores/placas separadas como la relación entre la carga eléctrica almacenada en cualquiera de los conductores y el voltaje o la diferencia de potencial entre los dos conductores ($C = Q/V_{ab}$); entonces podemos usar la ley de Gauss y la ecuación de voltaje$V_{ab} = \int_a^b {\mathbf E} \cdot {\mathrm d} {\mathrm l}$expresar la capacitancia en términos del dieléctrico y su geometría solamente; de esta manera obtenemos fórmulas como$C = \epsilon S/d$para condensador de placas paralelas.

Para la autoinductancia, definimos la autoinductancia de un conductor como la relación entre los enlaces de flujo magnético total y la corriente que enlazan ($L = \lambda/I$); entonces podemos usar la ley de Ampère y la ecuación del flujo magnético$\Phi = \int_S {\mathbf B} \cdot {\mathrm d} {\mathrm S}$expresar la inductancia en términos del material y su geometría solamente; de esta manera obtenemos fórmulas como$L = \mu_0 N^2 S/(2 \pi R)$para inductor toroidal.

De esta forma podemos encontrar las resistencias, capacitancias e inductancias de los conductores. Así es como se hace para las líneas de transmisión de energía ( por ejemplo, lea los libros de texto de Glover & Sarma [capítulo 4] o Grainger & Steveson [capítulos 4 y 5] sobre análisis de sistemas de energía).

Similar a las propiedades anteriores (resistencia, capacitancia, inductancia), la inductancia mutua se puede derivar de las ecuaciones de la teoría electromagnética , entonces, ¿por qué decimos que es una "propiedad fundamental"? Por otro lado, concebimos el coeficiente de acoplamiento$k$simplemente como un factor adimensional definido en términos de propiedades fundamentales, específicamente como la relación entre la inductancia mutua y la media geométrica de las autoinductancias.

A pesar de que el cálculo$R$,$C$,$L$y$M$implica teoría electromagnética/ecuaciones de Maxwell, esas constantes se consideran dadas/conocidas en el análisis de circuitos, de modo que no tengamos que volver a usar las ecuaciones de Maxwell nunca más.

No hay nada de malo en usar solo$k$(y$N$) en las ecuaciones del circuito. Si encuentra formas de expresar siempre las ecuaciones del circuito en términos de$k$sin$M$, eso está bien, ya sea que las expresiones resultantes sean más cortas o más largas. En pocas palabras, yo y otras personas pensamos en$k$como una cantidad derivada de$M$, entonces ese dicho$M$es inútil es como decir$k$también es inútil (lo que obviamente no es cierto).

Parte 1: no necesita usar M (acoplamiento = 100%)

Esta declaración provino de la primera respuesta publicada (ahora eliminada): -

Intente analizar cualquier circuito con inductores acoplados sin usar M

Si dos inductores están acoplados al 100 % en serie, puede convertir las inductancias en "giros" suponiendo que comparten el mismo núcleo (100 % acoplados). Considere esto a partir de la pregunta: -

Como ejemplo, considere dos inductores (como 9 μH y 4 μH) que están 100 % acoplados y producen campos magnéticos que ayudan.

Puede suponer arbitrariamente que el factor de inductancia ($A_L$) es 1 μH por vuelta.

Entonces, tienes esto: -

• 9 μH tiene 3 vueltas
• 4 μH tiene 2 vueltas

Y, el número total de vueltas es 5, por lo tanto, la inductancia neta es 5² μH = 25 μH.

En otras palabras, haces esto: -

¡La inductancia mutua del señor no fue necesaria ni dañada!

Parte 2: no necesita usar M (acoplamiento inferior al 100%)

Otro comentario sugirió que el 100% de acoplamiento era un caso especial. Aquí está el mismo ejemplo con un 60% de acoplamiento. Lo he hecho pictóricamente porque creo que es más significativo ver los pasos: -

Si tuviera que calcular la inductancia neta usando la fórmula en la pregunta, obtendría la misma respuesta.

Para responder mi propia pregunta; hasta ahora, M parece carecer bastante de sentido, no es particularmente útil y no representa nada significativamente importante. El factor de acoplamiento, k, por otro lado, parece ser mucho más fundamental y útil para comprender los inductores acoplados.

Parte 3: no necesita usar M (devanados aislados con cualquier grado de acoplamiento)

En la respuesta de @ user4574 se dijo esto: -

Entonces, básicamente, el punto de la inductancia mutua es que si cambio la corriente en un inductor, provoca un voltaje en el otro, que es proporcional a M y la tasa de cambio en la corriente.

La inferencia que tomo aquí es que M es útil, pero tengo mis dudas cuando se considera la importancia de k, el factor de acoplamiento...

En la respuesta proporcionada por @ThePhoton, se dio esta fórmula " para un circuito que contiene un transformador (o inductores acoplados) ": -

Esto también se mencionó en un comentario de @ P2000: -

@ThePhoton señala que si intenta un ejemplo similar al anterior pero donde la corriente o el voltaje NO se comparten (es decir, solo se acopla el flujo), terminará calculando una M para resolver ecuaciones.

Pero esto simplemente no parece ser cierto.

Considera el$V_2$fórmula directamente arriba. Contiene dos términos; el primer término es cuando hay una corriente de salida en el devanado "secundario" y hay una caída de voltaje resultante, pero el término principal en el que concentrarse es el que incluye M. Entonces, en el caso de que no haya corriente secundaria el$V_2$fórmula se convierte en esto: -

Sabiendo que$L_1\frac{dI_1}{dt}$puede equipararse al voltaje "primario"$V_1$, podemos manipular el simplificado$V_2$ecuación a esto: -

Entonces, porque$M = k\sqrt{L_1 L_2}$, la fórmula anterior se puede reescribir: -

Y, se sabe que la raíz cuadrada de la relación de inductancia es la relación de vueltas, N, por lo tanto: -

¿Alguien puede explicar por qué esta fórmula derivada no es más simple, más útil y más intuitiva en comparación con la fórmula que usa M (propuesta por @ThePhoton y @user4574)?

Cualquiera que sepa cosas sobre transformadores lo reconocerá como la relación básica de voltaje primario-secundario.

La inductancia te dice el voltaje que induce un cambio de corriente en un inductor dado. La inductancia mutua le indica el voltaje que un cambio de corriente en un inductor induce en el otro inductor.

La inductancia mutua se puede calcular (si no siempre analíticamente, numéricamente) a partir de la geometría única de las bobinas (que no necesitan ser solenoides, pueden tener formas y orientación arbitrarias) usando la fórmula de Neumann:

¿Puedes hacer lo mismo con k de primeros principios? ¿Puede calcular k, dada la geometría de las bobinas, sin invocar las cantidades utilizadas para definir M (flujo magnético o potencial vectorial)?

La observación de Andy tiene buen mérito. me queda claro que,

"$M$es una representación de una sola letra para$k\sqrt{L_{1}L_{2}}$y realmente nada más. "

Entonces, ¿por qué$M$para la inductancia mutua existe. Especulo que en el pasado se requería un marcador de posición para una cantidad inductiva desconocida hasta que se encontrara una solución.

Es$M$útil o importante? Bueno, supongo que si usando$M$agrega claridad o reduce el desorden en cómo se resuelve un problema, entonces la respuesta es sí. Si no, entonces No. Supongo que estoy eludiendo la pregunta. Pero en la realidad,$M$no es necesario como Andy ha demostrado claramente en su respuesta.

Hace$M$o$k\sqrt{L_{1}L_{2}}$tiene algun tipo de significado?

Comienzo con el significado de inductancia derivado de Faraday y Lenz. Estas personas nos dieron:

Si el flujo magnético$\phi$es creado por corriente en un cable (bucle único), entonces la ecuación puede modificarse en:

Para varios bucles (vueltas)$N$:

Si hay un segundo bucle de cable cerca sentado en el flujo cambiante del primero, entonces claramente por Faraday/Lenz, se inducirá un voltaje a través del segundo bucle de cable.

Esto no es nuevo, la gente de EE debería estar familiarizada con esto. Entonces considera$M$. Los dos bucles de alambre se pueden visualizar fácilmente con una proporción ($k$) del flujo del primer bucle que fluye a través del segundo bucle. La ecuación de inductancia se puede escribir:

Estas inductancias de acoplamiento representan la capacidad de una corriente en un lazo para establecer un flujo magnético en otro lazo. Aquí es donde la inductancia mutua se define como la media geométrica de la inductancia de acoplamiento:

Así que aquí está el significado:

La inductancia mutua es la media geométrica de las inductancias de acoplamiento.

Este promedio tiende a ocultar el significado de las inductancias de acoplamiento.

Entonces, al final, apoyo la respuesta de Andy a su propia pregunta.