¿El problema de la energía infinita del electrón como carga puntual?

Question

¿El problema de la energía infinita del electrón como carga puntual?

Jarek Duda

Imagine un universo infinito vacío con un solo electrón en reposo: hagamos la pregunta sobre la configuración del campo eléctrico en dicho universo vacío.

La respuesta estándar sería $E\propto 1/r^2$ .

Sin embargo, si se calcula la energía $(\propto E^2)$ de tal campo eléctrico, debido a la singularidad en $r=0$ obtenemos

\int_{0}^{\infty} 4 π r^{2} r^{- 4} d r = \infty

$\int_{0}^\infty 4\pi r^2 r^{-4} dr=\infty$

En cambio, sabemos bien que en realidad esta energía debería ser como máximo de 511 keV : liberada mientras se aniquila con positrones.

Obtendríamos 511keVs si integramos desde $r_0 \approx 1.4$ fm en lugar de cero : necesitamos que la deformación del campo eléctrico en la escala de femtómetros no exceda la masa del electrón con la energía del campo eléctrico solo.

Se dice vagamente que QED soluciona este problema (¿cómo exactamente?), pero aún queda una especie de pregunta básica: ¿cuál sería objetivamente el campo eléctrico para un solo electrón en reposo en un universo vacío?

Me he encontrado con dos ensayos para solucionar este problema fundamental:

Esa polarización de vacío reduce el campo eléctrico cerca de la singularidad (¿es satisfactorio?).
En modelos de partículas de solitón ( diapositivas ) tenemos $E\propto q(r)/r^2$ , donde la carga efectiva $q(r)$ es prácticamente constante para grandes $r$ , pero $q(r)\to 0$ para $r\to 0$ para evitar la energía infinita. Se hace activando el potencial de Higgs, una especie de electromagnetismo deformante en una interacción débil/fuerte para regularizar la energía infinita. Este tipo de efecto se observa como acoplamiento en marcha .

¿Puede esa polarización de vacío reducir la energía de la carga puntual por debajo de 511keV? ¿O tal vez hay otras soluciones razonables para este problema?

Aclaración: veo que nadie defiende la explicación de la polarización del vacío, pero hay muchas "afirmaciones de imposibilidad" y respuestas que evitan, así que permítanme explicar brevemente la solución a este problema sugerida por los solitones topológicos.

Veamos el campo vectorial más simple en 2D con potencial similar al de Higgs para preferir vectores unitarios:

Requerir vectores unitarios, $u(x)=x/|x|$ La configuración también tendría energía infinita debido a la discontinuidad en el centro. Como en el diagrama, se regulariza saliendo del mínimo del potencial de Higgs (vectores unitarios), hasta el vector cero en el centro, lo que permite realizar dicha carga topológica usando solo energía finita.

Para recrear el electromagnetismo en 3D para cargas topológicas como cargas eléctricas, podemos usar el teorema de Gauss-Bonnet en lugar de la ley de Gauss: dice que integrando la curvatura sobre una superficie cerrada, obtenemos carga topológica dentro de esta superficie.

Entonces, interpretando la curvatura de un campo más profundo como un campo eléctrico (análogamente B), y usando el Lagrangiano estándar para ello, podemos recrear el electromagnetismo con dos problemas corregidos: la ley de Gauss que solo permite una carga entera (topológica) (cuantización de carga incluida), y con cargas que contienen sólo energía finita - algún artículo .

¿Hay algún problema con tal explicación de la energía finita de una carga, o tal vez haya algunas explicaciones mejores?

lalala

Actualmente no hay solución a este problema.

DanielC

Si el universo alrededor del electrón está vacío, ¿por qué invocarías CED o QED? Los resultados de estas dos teorías se obtienen en presencia de un campo electromagnético (cuantificado), lo que haría que el universo alrededor del electrón dejara de estar vacío.

proyecto de ley alsept

¿Cómo podría un universo estar vacío? Tiene un diámetro por alguna razón.

Valerio

Aquí puede encontrar una discusión básica de este problema por Richard Feynman.

Ján Lalinský

Está suponiendo que 1) el resto de la energía (511 keV) se debe completamente a la energía electromagnética de una distribución de carga 2) que esta energía es proporcional al cuadrado del campo eléctrico. Pero respecto a 1), esto no es necesario; la masa podría ser completamente no electromagnética, como es el caso de las partículas puntuales; con respecto a 2) la energía EM puede no estar dada por la fórmula simple de Poynting en el dominio microscópico; nuevamente para partículas puntuales, el teorema de Poynting no puede interpretarse como el teorema del trabajo y la energía.

Jarek Duda

@JánLalinský No, 511keVs es solo el límite superior: la energía del campo eléctrico no puede exceder (suponiendo que se conserva la energía). Es una gran pregunta qué porcentaje de campo EM de 511keVs toma. Si no nos gusta el campo eléctrico, podemos pedir de manera equivalente el potencial eléctrico, que es infinito en el centro para la carga puntual de Coulomb. Ambos requieren una modificación en la escala del femtómetro para no exceder los 511keVs.

Ján Lalinský

Si la carga del electrón está compuesta de partes más pequeñas y si la fórmula de Poynting es válida en este dominio, la energía del campo eléctrico aún podría exceder ese valor. De la relatividad especial solo podemos concluir que la energía total del sistema compuesto debe estar alrededor de 511 keV. Si hay una contribución negativa a esta energía (el sistema cargado compuesto debe mantenerse unido por fuerzas atractivas no EM), la energía del campo EM puede ser mayor que la energía total.

Jarek Duda

No creo que haya un apoyo para la energía negativa. En general, la energía de configuración de campo estable (solitón), por ejemplo, seno-Gordon, se escala exactamente como en SRT: podemos centrarnos en el electrón en reposo con 511 keV. De todos modos, se necesita cierta deformación del campo EM en la escala fm que no exceda los 511 keV, tal vez en forma de fórmula de Poynting deformante, pero de manera autoconsistente: un modelo único (por ejemplo, Lagrangiano) que conduce a la estructura electrónica con interacción asintótica de Coulomb - partícula de solitón el modelo (por ejemplo, el de Faber) comienza allí, ¿algún otro enfoque interesante?

ben

No hay evidencia experimental de que el electrón sea una carga puntual. Es una resonancia del campo de electrones que se puede tratar matemáticamente utilizando la integral de un delta de Dirac multiplicado por un campo en todo el tiempo y el espacio, pero eso no significa que sea un delta de Dirac. Cualquier cosa puede tratarse como la integral de un delta de Dirac multiplicado por un campo en el tiempo y el espacio.

Jarek Duda

@Ben, la verdadera pregunta es, por ejemplo, "¿cuál es la energía media en el radio r bola alrededor del electrón": asintóticamente 511 keV, también contiene energía del campo EM ... hay un problema con r-> 0. Aquí hay algunos argumentos experimentales: physics.stackexchange.com/questions/397022/…

Respuestas (3)

¿El problema de la energía infinita del electrón como carga puntual?

Si el universo alrededor del electrón está vacío, ¿por qué invocarías CED o QED? Los resultados de estas dos teorías se obtienen en presencia de un campo electromagnético (cuantificado), lo que haría que el universo alrededor del electrón dejara de estar vacío.
¿Cómo podría un universo estar vacío? Tiene un diámetro por alguna razón.
Aquí puede encontrar una discusión básica de este problema por Richard Feynman.
Está suponiendo que 1) el resto de la energía (511 keV) se debe completamente a la energía electromagnética de una distribución de carga 2) que esta energía es proporcional al cuadrado del campo eléctrico. Pero respecto a 1), esto no es necesario; la masa podría ser completamente no electromagnética, como es el caso de las partículas puntuales; con respecto a 2) la energía EM puede no estar dada por la fórmula simple de Poynting en el dominio microscópico; nuevamente para partículas puntuales, el teorema de Poynting no puede interpretarse como el teorema del trabajo y la energía.
@JánLalinský No, 511keVs es solo el límite superior: la energía del campo eléctrico no puede exceder (suponiendo que se conserva la energía). Es una gran pregunta qué porcentaje de campo EM de 511keVs toma. Si no nos gusta el campo eléctrico, podemos pedir de manera equivalente el potencial eléctrico, que es infinito en el centro para la carga puntual de Coulomb. Ambos requieren una modificación en la escala del femtómetro para no exceder los 511keVs.
Si la carga del electrón está compuesta de partes más pequeñas y si la fórmula de Poynting es válida en este dominio, la energía del campo eléctrico aún podría exceder ese valor. De la relatividad especial solo podemos concluir que la energía total del sistema compuesto debe estar alrededor de 511 keV. Si hay una contribución negativa a esta energía (el sistema cargado compuesto debe mantenerse unido por fuerzas atractivas no EM), la energía del campo EM puede ser mayor que la energía total.
No creo que haya un apoyo para la energía negativa. En general, la energía de configuración de campo estable (solitón), por ejemplo, seno-Gordon, se escala exactamente como en SRT: podemos centrarnos en el electrón en reposo con 511 keV. De todos modos, se necesita cierta deformación del campo EM en la escala fm que no exceda los 511 keV, tal vez en forma de fórmula de Poynting deformante, pero de manera autoconsistente: un modelo único (por ejemplo, Lagrangiano) que conduce a la estructura electrónica con interacción asintótica de Coulomb - partícula de solitón el modelo (por ejemplo, el de Faber) comienza allí, ¿algún otro enfoque interesante?
No hay evidencia experimental de que el electrón sea una carga puntual. Es una resonancia del campo de electrones que se puede tratar matemáticamente utilizando la integral de un delta de Dirac multiplicado por un campo en todo el tiempo y el espacio, pero eso no significa que sea un delta de Dirac. Cualquier cosa puede tratarse como la integral de un delta de Dirac multiplicado por un campo en el tiempo y el espacio.
@Ben, la verdadera pregunta es, por ejemplo, "¿cuál es la energía media en el radio r bola alrededor del electrón": asintóticamente 511 keV, también contiene energía del campo EM ... hay un problema con r-> 0. Aquí hay algunos argumentos experimentales: physics.stackexchange.com/questions/397022/…

Bob Knighton · Answer 1

Este problema está muy relacionado con el hecho de que la masa del electrón requiere renormalización en QED. Ambos surgen de la misma idea física básica: nuestras teorías no se sostienen en escalas de longitud arbitrariamente pequeñas. Al calcular la energía propia, asume que el concepto de un campo electromagnético se aplica a todas las escalas, lo que posiblemente no sea el caso.

Una forma de remediar esta situación es darle al electrón un radio finito, pero pequeño. Entonces, la energía propia viene dada por (estableciendo $\epsilon_0=1$ )

tu = \frac{{mi}^{2}}{2} \int_{r_{mi}}^{\infty} \frac{d r}{r^{2}} = \frac{{mi}^{2}}{2 r_{mi}} .

$U=\frac{e^2}{2}\int_{r_e}^{\infty}\frac{\mathrm{d}r}{r^2}=\frac{e^2}{2r_e}.$

Ahora, la masa del electrón que medimos en el laboratorio vendrá dada por (estableciendo $c=\mu_0=1$ )

metro (r_{mi}) = {metro}_{0} + \frac{{mi}^{2}}{2 r_{mi}},

$m(r_e)=m_0+\frac{e^2}{2r_e},$

dónde $m_0$ se conoce como la "masa desnuda". Lo que hay que hacer ahora es pensar en lo que sucede cuando tomamos $r_e\to 0$ . Claramente, si $m_0$ es solo un número, esto haría que la masa medida se volviera infinita. Sin embargo, si $m_0$ es formalmente infinito y negativo, entonces $m(r_e)$ se vuelve positivo y finito, si el valor se ajusta correctamente.

Ahora, esto parece bastante filosófico (y es una especie de movimiento manual de alto nivel), pero se puede usar para hacer predicciones. En términos generales, el radio que le dimos al electrón es inversamente proporcional a la escala de energía más alta en la teoría, llámese $\Lambda$ . En unidades donde $\hbar=1$ , podemos simplemente escribir $r_e=1/\Lambda$ . Entonces nosotros tenemos

metro (Λ) = {metro}_{0} + \frac{{mi}^{2}}{2} Λ .

$m(\Lambda)=m_0+\frac{e^2}{2}\Lambda.$

Ahora bien, si consideramos que somos capaces de sondear otro corte de energía $\Lambda'$ , entonces

metro (Λ^{'}) - metro (Λ) = \frac{{mi}^{2}}{2} (Λ^{'} - Λ),

$m(\Lambda')-m(\Lambda)=\frac{e^2}{2}\left(\Lambda'-\Lambda\right),$

¡lo que nos permite predecir cómo cambia la masa del electrón con la escala de observación de energía! Esta es esencialmente la filosofía de la renormalización, y cobra vida propia en las teorías cuánticas de campos.

¡Espero que esto ayude!

PD: Siéntete libre de corregirme en cualquier lugar. Estoy seguro de que cometí algunos errores algebraicos/conceptuales en alguna parte.

Entonces, ¿qué sucede debajo de r_e? No podemos simplemente hacer un agujero en un modelo, como ignorar el centro del sol en el modelado debido a la falta de medición directa. Y la física odia las discontinuidades debido a su energía infinita; tal vez deberíamos buscar una solución continua, como en los modelos de solitones: E ~ q(r)/r^2 donde q=e para r grande, pero q(r)->0 para r->0?
Eso es absolutamente una posibilidad, y te invito a probarlo. ¡En general, deberías llegar a la misma respuesta! Esto se debe a que la física de baja energía (tratar de medir la masa del electrón en alguna escala de energía) siempre debe ser independiente de cómo "regulares" la física de alta energía. La independencia de la regularización se puede probar para una amplia variedad de problemas (ver, por ejemplo, la discusión de Schroeder sobre la fuerza de Casimir), y está altamente relacionada con un importante concepto físico de universalidad (una teoría de baja energía puede surgir ("fluir") de una gran clase de teorías de alta energía).
Lindo. Mi resumen es que no hay evidencia física de que el cero o el infinito realmente existan (y es posible que no existan buenos argumentos). Así que pruebe con un número muy pequeño y vea cuáles son las implicaciones.

ana v · Answer 2

Uno debe separar los modelos usados en la descripción de partículas elementales.

El modelo clásico de $\tfrac{1}{r^2}$ singularidad, depende de medir el campo eléctrico con una carga de prueba, es decir, es la fuerza que siente la carga de prueba en el campo de la carga en cuestión. Por lo general, la carga está en un volumen extendido en las medidas clásicas, pero es cierto que el formalismo teórico conduce a un infinito si la partícula es un punto.

La mecánica cuántica resuelve este problema para la interacción de dos cuerpos mediante la cuantificación de los niveles de energía a medida que la carga de prueba se acerca al centro de la carga en cuestión y tiene un estado fundamental que no permite la superposición de cargas, si es un electrón que mide un positrón. . Así es como se forman los átomos, el electrón nunca cae sobre el protón en el hidrógeno.

El positronio existe durante algún tiempo hasta que la probabilidad de superposición del positrón electrónico conduce a dos fotones, y las vidas útiles concuerdan con los cálculos de QED.

Es cierto que el modelo estándar tiene las partículas elementales en su tabla como partículas puntuales, pero es un modelo de teoría cuántica de campos, las partículas puntuales no son lo mismo que las partículas reales. Las partículas reales se modelan mediante paquetes de ondas.

Estoy seguro de que se pueden idear modelos más complicados para medidas específicas, pero hay que recordar que el nivel subyacente de la física clásica es la mecánica cuántica. Lo clásico surge de lo cuántico, no al revés, y la singularidad clásica es solo una singularidad en un modelo que se ajusta a las medidas clásicas, eso es todo, en mi opinión.

Es interesante analizar el uso de paquetes de ondas para otro rompecabezas, aquí physics.stackexchange.com/questions/369902/…
Veo que está de acuerdo en que el electrón no es un punto perfecto, sino, por ejemplo, un paquete de ondas. La pregunta es cómo se comporta el campo eléctrico alrededor del centro de dicho paquete de ondas. ¿Se puede reducir la carga efectiva en colisiones de alta energía, por ejemplo, E ~ q(r)/r^2 donde q=e para r grande, pero q(r)->0 para r->0 para evitar la energía infinita del campo? ?
Es complicado, pero puedes tener una idea al leer el enlace que di en el comentario, donde Zachos aborda las oscilaciones de neutrinos en el marco de reposo de los neutrinos usando paquetes de ondas. Un paquete de ondas que se dispersa de un paquete de ondas arxiv.org/pdf/physics/9909042.pdf
eche un vistazo a esta definición para cargar la densidad en.wikipedia.org/wiki/… . Las probabilidades nunca son infinitas, sino limitadas por 1.
Se trata de la densidad de carga, mientras que mi pregunta se refiere al campo eléctrico. Si el electrón como paquete de ondas debe entenderse como una superposición de cargas puntuales, cada una de estas situaciones tiene una energía infinita, por lo que esta no es una solución. Sin embargo, si asumimos que la carga 'e' está distribuida objetivamente, calculando el campo eléctrico como promedio sobre la densidad, podría haber una posibilidad de energía finita del campo eléctrico (?) ¿Ha visto tal vez un artículo con tales afirmaciones? Sin embargo, ¿no deberían verse manchas de carga de electrones en colisiones de alta energía? El acoplamiento en funcionamiento sugiere que la carga efectiva se reduce allí.
La densidad de carga se da en términos de probabilidad. La probabilidad no puede ser infinita. Por construcción, las fracciones del campo eléctrico se manchan de acuerdo con la distribución de probabilidad, como se ve en el enlace.

librecharly · Answer 3

La energía electrostática infinita de un electrón está relacionada con la idea de que el trabajo necesario para acumular su carga por cargas infinitesimales en un punto frente a las fuerzas electrostáticas que ejercen entre sí es infinito. Esto también está relacionado con la energía infinita del campo electrostático de la partícula puntual. El electrón, sin embargo, no ha sido ensamblado por tal proceso. Hasta donde sabemos, siempre ha existido como una partícula puntual con una carga elemental. Por lo tanto, esta supuesta energía potencial infinita no se puede extraer del electrón. Por lo general, se descarta o se "sustrae" como otros infinitos en la física teórica.

Estamos seguros de que no se trata de energía infinita, ya que se pueden liberar 511 keV en la aniquilación, la carga se puede construir a partir de 2*511 keV en la creación de pares. Hay un problema con el modelo: se requiere una forma de regularizar la singularidad. Se puede reparar, por ejemplo, si se modela la carga eléctrica como carga topológica (arriba).

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