Misteriosa desaparición energética de condensadores

La respuesta simple es que no puede cortocircuitar dos fuentes de voltaje ideales sin crear un sistema de ecuaciones sobredeterminado. Entonces, si intenta usar la teoría de redes para describir el circuito que ha dibujado, siempre fallará. Como han señalado otros, para hacer que este circuito sea calculable, debe agregar algún componente parásito (la resistencia parasitaria sería más fácil de modelar y comprender).

Cuando tratamos de trabajar con las leyes de Kirchhoff, hay dos ecuaciones para el voltaje sobre su capacitor (como lo dibujó).

(1) Se deriva de KVL porque la batería también es una fuente de voltaje

(2) Debido a la definición de voltaje en una capacitancia

Obviamente, ambos no pueden ser ciertos si hay corriente fluyendo en el circuito. Esta es la razón por la cual cualquier enfoque matemático para describir su sistema sin parásitos adicionales fallará.

Hay una explicación fácil y no matemática de por qué no puede existir en realidad ninguna fuente sin resistencia parásita: tener una fuente de voltaje sin resistencia interna significa que esta fuente entregará cualquier corriente a su voltaje fijo. Esto significa que la fuente podría proporcionar cualquier potencia o energía infinita, lo que no puede ser cierto en un sistema físico.

Debido a la discusión en los comentarios:

Las leyes de Kirchhoff no son una especie de súper herramienta matemática que se aplica a cualquier cosa que se te ocurra. Estas leyes pueden entenderse como un caso especial de las ecuaciones de Maxwell para bajas frecuencias. Creemos que las ecuaciones de Maxwell son la mejor descripción de los fenómenos electromagnéticos con los que podemos trabajar (quizás algún día algún tipo de teoría cuántica las reemplace). E incluso con las ecuaciones de Maxwell, no pudo encontrar una descripción consistente de su circuito concentrado ideal. No puedes usar ecuaciones que describen la realidad y tratar de aplicarlas a algo inventado.

¿Qué es exactamente lo que está mal en esta derivación para kvl (The Feynman Lectures on Physics, Volume II, Chapter 22: AC Circuits)?

∇×E=−∂B∂t=0

En una versión anterior, traté de mostrar algunas contradicciones en las ecuaciones de Maxwell cuando se aplican a su circuito. Esta explicación fue defectuosa porque al hacer la transición a las ecuaciones de Maxwells para explicar lo que sucede, debemos suponer que existe una inductancia en el circuito. Entonces, ya en este punto, me estaba desviando del modelo real de elementos agrupados de su circuito, como ha señalado Sredni Vashtar.

Esto se debe a la ley de Ampere, una de las ecuaciones de Maxwell:

Esto establece que cualquier densidad de corriente siempre está vinculada a un campo magnético. Dado que la inductancia es una medida de cuánto flujo produce un circuito por corriente, en realidad no puede ser cero. Esto también lleva a la explicación de que su modelo de elementos agrupados no puede ser una descripción de algo real.

Si construyes este circuito en la realidad, hay algo de resistencia. La mitad de la energía proporcionada por la batería se almacena en el capacitor y la otra mitad se convierte en calor en la resistencia.

Pensarías que puedes reducir la resistencia para disminuir la energía desperdiciada, ¡pero no puedes! Si tienes un total de 1$\Omega$de resistencia, y lo cambias a 0.2$\Omega$- ahora la resistencia desperdicia 5 veces menos energía con la misma corriente, pero el capacitor se carga 5 veces más rápido con 5 veces la corriente. La corriente subió 5 veces, causando 25 veces la pérdida ($P = I^2R$), pero la resistencia bajó, provocando$\frac15$la pérdida, y el tiempo también bajó, provocando otro factor de$\frac15$. ¡La energía total perdida es la misma que antes!

Esto se llama la paradoja de los dos condensadores . Es la razón por la cual las bombas de carga no pueden ser 100 % eficientes . Aunque tiene una batería en lugar de un condensador, el problema es esencialmente el mismo. Si lo desea, una batería puede considerarse aproximadamente equivalente a un condensador muy grande.

Hay varias formas de resolver la paradoja. Aquí hay uno:

La ley de voltaje de Kirchoff (KVL) establece:

La suma dirigida de las diferencias de potencial (voltajes) alrededor de cualquier lazo cerrado es cero.

Así que intentemos eso:

^{simular este circuito : esquema creado con CircuitLab}

Entonces, al plantear la pregunta, se ha violado la KVL. Entonces, una solución a la paradoja: las condiciones iniciales no son válidas y no tiene sentido continuar. El circuito tal como está dibujado no es más válido que "2+2=5" u otras tonterías matemáticas.

Quizás lo que debe darse cuenta es que si desea utilizar la teoría de redes, las líneas en un esquema no son cables. Son restricciones matemáticas que requieren que todo lo que toca una línea esté al mismo potencial eléctrico. A medida que se dibuja el circuito, las líneas indican que el voltaje en la batería y el capacitor deben ser iguales. Y luego, postula que estos voltajes no son iguales. Cualquier razonamiento matemático adicional a partir de este conjunto inconsistente de restricciones está destinado a generar contradicciones.

Una forma de evitar violar KVL es insertar una resistencia en el circuito:

^{simular este circuito}

Ahora el condensador puede comenzar a 0 V, porque V1 puede aparecer a través de R para satisfacer KVL.

Sin embargo, ahora debe calcular adicionalmente la energía perdida en la resistencia a medida que se carga el capacitor. Encontrará que la energía "faltante" se ha perdido como calor en la resistencia.

El valor de la resistencia no importa. Una resistencia más grande disipará una potencia más baja durante más tiempo. Una resistencia más pequeña disipa una potencia más alta durante un tiempo más corto. De cualquier manera se pierde la misma energía.

Tenga en cuenta que a medida que la resistencia se acerca a cero, la potencia en la resistencia se acerca al infinito debido al calentamiento Joule :$P = I^2 R$. Esto es bastante diferente a muchos circuitos en los que a medida que la resistencia se acerca a cero, la energía perdida por la resistencia se acerca a cero. Esto se debe a que, en la mayoría de los circuitos, cuando la resistencia se acerca a cero, el voltaje en el resistor se acerca a cero, pero en este circuito no puede hacerlo debido a la fuente de voltaje y las condiciones iniciales del capacitor.

Este modelo con la resistencia es un modelo más preciso de lo que sucede en la práctica, ya que cualquier batería, cualquier capacitor y cualquier cable que pueda usar para construir el circuito tiene una resistencia distinta de cero.

Si de alguna manera pudiera construir el circuito con resistencia cero (superconductores, magia o algo así), entonces aún tendría que considerar la inductancia del circuito. Esta inductancia significa que el capacitor no se cargará simplemente, sino que la energía oscilará entre el capacitor y el inductor.

Sin embargo, probablemente no para siempre, porque eventualmente la energía se perderá como radiación electromagnética. Para que el modelo sea preciso, se debe incluir la resistencia a la radiación .

En resumen, la paradoja solo puede surgir de una violación inicial de la KVL. La incorporación de resistencia e inductancia que deben estar presentes en cualquier circuito físicamente realizable resuelve la paradoja.

Comentarios que hice antes de responder

Puede hacer los cálculos: un voltaje que aumenta linealmente produce una corriente constante en el capacitor, por lo tanto, V⋅ I también es una rampa lineal y el área bajo la curva se calcula fácilmente como V²⋅ I ÷ 2 y ¡todo está bien! Aplicar un voltaje de paso a un capacitor (como lo ha hecho en su pregunta) requiere una corriente infinita y las cosas no funcionan bien (incluso las matemáticas).

y

La resistencia en serie de los cables y la fuente de alimentación actúan como un limitador de corriente que produce calor: ahí es donde desaparece el 50% de la energía.

Por lo tanto, mi respuesta original

Cargar directamente un capacitor desde un suministro de voltaje es ineficiente: -

• La energía consumida es C·V² pero la energía almacenada es sólo ½ C·V².
• Considere un capacitor de 1 μF cargado a 1 voltio y luego conectado a un capacitor de 1 μF descargado. La carga (C·V) se conserva, por lo tanto, el voltaje final es de 0,5 voltios.

Para la energía hay pérdida: -

• Energía inicial: ½ × 1 μF × (1 voltio)² = 500 nJ
• Energía final: ½ × 2 μF × (0,5 voltios)² = 250 nJ

Considere esto: ¿intentaría cargar un inductor desde una fuente de corriente constante (pista: cuál sería el voltaje terminal inducido?).

Lo mismo sucede cuando los objetos chocan; se conserva la cantidad de movimiento pero se pierde energía.

Los inductores son diferentes; toda la energía tomada de un suministro de voltaje se almacena en el campo magnético. A diferencia de los condensadores, los inductores no provocan un aumento de corriente. No hay colisión; la corriente aumenta desde cero amperios de manera ordenada. La energía se conserva (excepto en el caso menos habitual de cargar un inductor desde una fuente de corriente).

Analogía mecánica: si un motor ideal enrolla un resorte, toda la energía consumida se libera cuando el motor se reutiliza como generador. Sin embargo, si se "aplicara" un motor giratorio a un volante, la energía adquirida por el volante es solo el 50% de la energía tomada por el motor. Hay una colisión.

Sin embargo, si un volante gira progresivamente desde el reposo, la transferencia de energía es del 100 %. Del mismo modo, si un capacitor se cargó con un voltaje en rampa, se produce una transferencia del 100 %.

Los inductores son más útiles con fuentes de voltaje; la energía almacenada se puede liberar en un condensador con eficiencia perfecta. Un inductor cargado conectado a un capacitor descargado elevará el voltaje desde cero y transferirá el 100 % de la energía al capacitor (como en un convertidor elevador).

Solo para agregar a la respuesta dada por el usuario 25375 (la mitad de la energía se pierde en una resistencia en el circuito, sin importar cuán pequeña sea):

Si quiere insistir en que no hay resistencia en el circuito, entonces debe preguntar qué eliminó la energía cinética que la batería le dio a los electrones. Hay un exceso de energía cinética durante el proceso de carga porque la batería tiene un voltaje más alto que el capacitor. Por lo tanto, los electrones se aceleran y les sobra energía cinética que no se depositó en el capacitor.

Este exceso de energía cinética normalmente sería eliminado por cualquier resistencia que haya en el circuito. Si elimina la posibilidad de una resistencia, entonces ha eliminado el mecanismo que elimina esta energía cinética de los electrones, pero ha asumido que la energía se perdió de todos modos. Ahí es donde está tu energía 'perdida'.

Si estamos modelando esto como el movimiento de cargas, el trabajo realizado en una carga individual es qV , pero eso no significa que el trabajo total realizado en todas las cargas sea QV .

El problema es que, a medida que las cargas pasan del terminal negativo a la placa del condensador, el voltaje entre el terminal y la placa se reduce, lo que significa que V es en realidad una función del tiempo.

Dado que el voltaje disminuye estrictamente entre esos dos puntos, la suma total del trabajo realizado en todas las cargas debe ser estrictamente < QV .

Parece que resolvimos tu paradoja sin introducir una resistencia fantasma. Sin embargo, el argumento anterior asume que las cargas no se liberan todas de la batería simultáneamente; debe haber alguna corriente finita. ¡En el modelo de circuito, esto está representado por la resistencia del circuito! Así que introdujimos una "resistencia fantasma" después de todo.

Debe tener cuidado con las suposiciones detrás de las ecuaciones que está utilizando. ¿Estamos en un escenario estático, cuasi-estático o dinámico?

Porque el proceso de carga que propone pondría su circuito en un entorno electrodinámico : en este caso, si insiste en tener conductores perfectos, no puede descuidar la autoinductancia asociada y la contribución L di/dt correspondiente que creará un circuito radiante (electrodinámica) donde parte de la energía irá al campo EM en el espacio que te rodea.

Incluso si logra permanecer en condiciones cuasiestáticas , terminará con un circuito oscilante donde la energía irá y vendrá entre L y C.

Si desea ralentizar la carga para que la contribución de L di/dt sea insignificante en la configuración cuasiestática , debe agregar una resistencia, pero en este caso la energía se perderá en forma de calor en la resistencia.

Y si te preguntas qué sucede en el equilibrio, cuando las condiciones son estáticas , bueno... ya no hay movimiento de carga. La tapa se quedará allí almacenando cualquier energía que tenga en su campo al final del transitorio.

NOTA:
Para obtener una buena introducción a las condiciones de electro-quasistatic y magneto-quasistatic, consulte el Capítulo 3 del libro de texto de Haus & Melcher sobre EM, "Electromagnetic Fields and Energy", disponible gratuitamente en el sitio web MIT OCW.
En términos generales,
"Estático": despreciamos las derivadas del tiempo en las ecuaciones de Maxwell.
"Quasi-estático": despreciamos la inducción magnética o la corriente de desplazamiento eléctrico.
"(electro)Dynamic": todo el tinglado. Consideramos los efectos de dE/dt y dB/dt.

Sin ningún tipo de resistencia, el circuito propuesto oscilará. No se pierde energía en forma de calor; por lo tanto, cuando el dispositivo A se descarga y carga el dispositivo B, la avalancha de corriente tiene que ser tan grande que se sobrepasa. Entonces B termina con más voltaje que A, y la situación se invierte: B descarga y carga A, y así sucesivamente.

En el punto donde los dispositivos tienen el mismo voltaje, donde la energía que falta se ha ido a la corriente en movimiento, que tiene una velocidad de deriva y una masa.

Esto no es más difícil de entender que una bola que oscila sobre un resorte o lo que sea. Ni siquiera tenemos que traer la inducción a la imagen (aunque por corrección/realismo, debemos hacerlo).

Si no existiera la inducción, entonces el análisis tendría que reducirse a considerar las masas y la inercia de los electrones individuales. La diferencia de voltaje está asociada con un campo eléctrico en el que los electrones se aceleran y transportan energía cinética como cualquier otra partícula con masa. Sin resistencia, su energía no se disipa. Una vez acelerados, siguen moviéndose y el movimiento no se detiene simplemente cuando los dispositivos tienen el mismo voltaje.

El fenómeno de la inducción asegura que la electricidad tenga un tipo de "energía cinética" aparente que supera con creces la energía cinética de inercia ordinaria de la corriente de deriva debida únicamente a la masa del electrón. Cuando interrumpimos repentinamente un circuito, la inducción quiere que la corriente continúe al mismo valor, y el efecto es sorprendentemente poderoso, fuera de proporción con la masa de los electrones y su velocidad de deriva a través de los cables. Este efecto en realidad es causado por el colapso del campo magnético inducido (que, dicho sea de paso, almacena energía).

Al igual que la masa resiste el cambio de velocidad (que requiere aceleración), la inductancia resiste el cambio de corriente (dando lugar a un cambio lento de corriente en respuesta a un cambio rápido de voltaje, similar a la aceleración). Efectivamente, la inductancia hace que los electrones que se desplazan lentamente parezcan mucho más pesados ​​de lo que son.

Si pudiéramos construir el circuito, tal que no hubiera resistencia (todo es superconductor), la inductancia, en el sentido anterior, "amplificaría" la inercia de la corriente. Disminuiría la velocidad de la descarga y prolongaría el exceso. El resultado es que obtenemos una oscilación que es mucho más lenta de lo que sería predicho solo por la inercia de masa de la corriente superconducida.