¿Cómo se calcula exactamente el tiempo conforme, ηη\eta?

No estoy seguro de que esto sea lo que quieres, pero quiero intentarlo,

$$\eta=\int \frac {dt} {a}=\int\frac {da} {a\dot{a}}=\int\frac {da} {a^2H}$$ y podemos escribir $$H(z)=H_0E(z)$$ $$E(z)=\sqrt{\Omega_{\Lambda}+\Omega_m(1+z)^3+\Omega_r(1+z)^4+\Omega_{\kappa}(1+z)^2}$$

entonces tenemos,

$$\eta=\int\frac {da} {a^2H_0E(z)}$$

y$dz=-da/a^2$para que podamos escribir,

$$\eta=-H_0^{-1}\int\frac {dz} {E(z)}$$

Y tomando la condición inicial como$z=\infty$, y debido al signo menos la integral se convierte en,

$$\eta=H_0^{-1}\int_z^{\infty}\frac {dz} {E(z)}$$

Para encontrar la corriente ($t_0$) tiempo conforme, podemos usar la ecuación anterior, para$z=0$

$$\eta=H_0^{-1}\int_{z=0}^{\infty}\frac {dz} {E(z)}$$

$$\eta=H_0^{-1}\int_{0}^{\infty}\frac {dz} {\sqrt{\Omega_{\Lambda}+\Omega_m(1+z)^3+\Omega_r(1+z)^4+\Omega_{\kappa}(1+z)^2}}$$

Para los valores actuales de$\Omega_{\Lambda}=0.69$,$\Omega_m=0.31$,$\Omega_{\kappa}= \Omega_r=0$

tenemos,

$$\eta=H_0^{-1}\int_{0}^{\infty}\frac {dz} {\sqrt{\Omega_{\Lambda}+\Omega_m(1+z)^3}}$$

$$\eta=H_0^{-1}\int_{0}^{\infty}\frac {dz} {\sqrt{0.69+0.31(1+z)^3}}$$

si tomamos$H_0=70km/s/Mpc$entonces$1/H_0=1/(70\times 3.2408\,10^{-20})=4.4133353\,10^{17}s$

Y la integral da,

$$\int_{0}^{\infty}\frac {dz} {\sqrt{0.69+0.31(1+z)^3}}=3.266054427285631$$

entonces

$$\eta(t_0)=3.266054427285631\times 4.4133353\,10^{17}s=1.4414193\,10^{18}=45.70 \,\text {Gigayear}$$

Para calcular la integral que puedes usar, este sitio

Escribo la integral en términos de$z$pero también es posible escribir la ecuación en términos de$a(t)$(la parte inicial de la derivación). Pero$z$es el valor observable por lo que prefiero escribir en esa forma.

Para una dada$t$puedes girar facilmente$a(t)$a$z$.

$a(t)$proviene de resolver las ecuaciones de Friedmann. Si desea tener en cuenta la materia, la radiación y la energía oscura, debe hacerlo numéricamente.

Sin embargo, si no le importan los primeros 10 millones de años después del Big Bang, puede ignorar la radiación y obtener una buena solución analítica que tenga en cuenta la materia (incluida la materia oscura) y la energía oscura:

$$a(t)=\left(\frac{\Omega_m}{\Omega_\Lambda}\right)^{1/3}\left(\sinh{\frac{t}{t_\Lambda}}\right)^{2/3}$$

dónde

$$t_\Lambda=\frac{2}{3H_0 \Omega_\Lambda^{1/2}}.$$

Aquí$\Omega_m$es la fracción actual de la densidad crítica que es la materia,$\Omega_\Lambda$es la fracción actual de la densidad crítica que es energía oscura, y$H_0$es la constante de Hubble actual. Esto es para un universo plano, que es lo que observamos.

Esta ecuación y los valores de estos tres números se pueden encontrar en el artículo del modelo Lambda-CDM de Wikipedia :

$\Omega_m=0.3089$

$\Omega_\Lambda=0.6911$

$H_0=67.74$km/s/Mpc

Esta solución muestra cómo el factor de escala creció primero como$t^{2/3}$cuando dominaba la materia y luego crece exponencialmente a medida que domina la energía oscura.

No va a haber una manera de relacionarse$\eta$a$t$a menos que ya conozca la función$a(t)$, que va a depender de su modelo cosmológico en cuestión. La representación integral dada será lo más cercano que pueda llegar a una expresión de forma cerrada sin que se le dé explícitamente un valor explícito de$a$.

Por ejemplo, para una era inflacionaria, tenemos$a=a_0e^{Ht}$, dónde$H$es el parámetro constante de Hubble. En este caso, tenemos

$$\eta(t)=\int\frac{\mathrm{d}t}{a(t)}=\frac{1}{a_0}\int\mathrm{d}t\,e^{-Ht}=C-\frac{1}{a_0H}e^{-Ht}.$$

Esto se puede invertir para dar

$$a(t)=a_0e^{Ht}=\frac{1}{H(C-\eta)}.$$

Cosecha$C=0$da

$$a(\eta)=-\frac{1}{H\eta}.$$

Ambos$\eta(t)$y$a(\eta)$son expresiones agradables y simples de forma cerrada, pero solo se mantienen durante una era inflacionaria. Otras eras (dominadas por la materia, radiación, constante cosmológica, combinaciones de las tres, etc.) tendrán diferentes valores de$a(t)$, y por lo tanto la definición de$\eta$cambiará, y ninguna expresión de forma cerrada (es decir, sin un signo integral) puede abarcar todos los casos.