Confusión de la banda de conducción

¿La brecha de energía prohibida es igual a la energía de ionización?

En los sólidos, generalmente en los que tienen una estructura espacial bien definida como en los cristales, los electrones de valencia pueden saltar de un átomo al átomo vecino. En este sentido los electrones no pertenecen a ningún átomo en particular, están deslocalizados. Por lo tanto, la energía de ionización no tiene sentido en este contexto. De hecho, se define solo para átomos aislados.

Ahora bien, la brecha existe debido al hecho de que, mecánicamente cuánticamente, el electrón solo puede existir en estados de energía discretos. Y la brecha es solo la brecha entre dos estados permitidos, el más alto del núcleo y el más bajo de la valencia.

Eso explica la brecha. Pero ¿qué pasa con el continuo? Los átomos individuales tienen estados de energía discretos. Pero cuando dos átomos se acercan, se afectan entre sí para dividir los estados de energía. Esto se puede entender con la siguiente caricatura:

Obviamente, la caricatura es una simplificación excesiva de la física real, pero en esencia esto es lo que hace que aparezca la banda (continuo de estados de energía). Si la acción del átomo vecino sobre el electrón es menor que la del átomo actual, la división de los niveles de energía es menor que la brecha entre los estados. Sin embargo, si la influencia del átomo vecino es comparable con la del átomo actual, la división será del orden de la brecha. En este caso, las dos bandas se superponen. Esto es lo que sucede en los metales.

Esta es la forma en que me gusta pensar en ello. Probablemente ya haya encontrado relaciones de dispersión, que le indican la frecuencia para una longitud de onda particular. Aquí está la dispersión de fonones (vibraciones en cristales):

En la mecánica cuántica, la frecuencia y la longitud de onda están relacionadas con la energía y el momento, respectivamente, por$E=\hbar\omega$y$p=\hbar k$. Cada material tiene su propia relación de dispersión y esta dispersión impone restricciones a las energías permitidas. Una partícula libre tiene dispersión$E=\hbar^2 k^2/2m$entonces cualquier energía es posible, pero tomemos por ejemplo el pozo cuadrado infinito. Allí el potencial obliga a las energías a tomar valores discretos. Para volver a la dispersión de fonones, rompamos la dispersión para que solo tome valores discretos de$k$para que sea más fácil de visualizar.

Ahora imagina que giras la imagen$90^\circ$en el sentido de las agujas del reloj y dejar caer todos los puntos. Si ahora cuenta cuántos puntos cayeron en una energía en particular, verá aproximadamente cuántos estados están disponibles para ese nivel de energía. Esto se parece a esto:

Para las bandas de energía, solo nos interesa si una energía tiene estados disponibles o no . Para obtener la banda de energía, extienda el gráfico amarillo para que llegue hasta el final si tiene al menos un estado. Básicamente estiras el gráfico amarillo hasta que es un rectángulo. Para algunas energías hay estados cero, por lo que incluso después de este estiramiento todavía está vacío. Esta es una brecha de banda.

En la mecánica cuántica, cada estado solo puede estar ocupado por una partícula (para los fermiones, que incluyen electrones), por lo que, por lo general, los estados se llenan de abajo hacia arriba. La conservación de la energía y el momento aún se aplican, por lo que para excitar un electrón de la banda inferior a la superior, tiene que absorber una energía que es al menos tan grande como la brecha de banda.

Edite en respuesta a @garyp: usé la dispersión de energía un poco suelta. Los fonones tienen una dispersión y son un buen ejemplo, pero esta "brecha de banda" es diferente de la de los semiconductores. Los fonones no son objetos cuánticos, por lo que la frecuencia de un fonón no es su energía. Para obtener relaciones de dispersión electrónica como las de los semiconductores, tendría que resolver la ecuación de Schrödinger y luego la dispersión resultante le dará la energía.