¿Un ejemplo resuelto en la potencia del transmisor?

Básicamente, este ejercicio trata de ilustrar cuál es el significado del canal de capacidad usando el canal de capacidad de Shannon como el modelo más simple.

La información que tenemos es:

• Qué tan rápido hemos transmitido una determinada cantidad de información. 1 MB en 1 segundo
• Qué ruidoso está el canal. 60dB
• Cuántas pérdidas tiene el canal. 174dBm/Hz
• Qué ancho tiene el canal. 1 megaciclo

Ahora, queremos saber la potencia de entrada de la señal. Con todos los datos anteriores es posible averiguarlo.

El primer objetivo es calcular la potencia de la señal de salida.

El canal de capacidad es la tasa de datos de transmisión máxima posible sin error en los datos transmitidos. Este parámetro depende de la potencia de la señal, la cantidad de ruido añadido por el canal y el ancho de banda.$R = W \log_2{(1+ \frac{S}{N})}$, donde R es la capacidad del canal, W el ancho de banda, S la señal de potencia en unidades lineales, N el ruido de fondo en unidades lineales. Suponiendo que estamos transmitiendo a la velocidad máxima que puede manejar el canal, podemos calcular R como la cantidad de datos transmitidos (1 MB) dividido por el tiempo empleado para transmitirlos:

$$R = \frac{1~MB }{1~s} \cdot \frac{10^6~byte}{1~MB} \cdot \frac{8~bit}{1~byte} = 8~Mb/s$$

Según el ruido, conocemos la densidad espectral del ruido ($N_0$), es decir, cuánto ruido por Hz está agregando el canal. Para conocer la potencia total de ruido en la comunicación,$N = N_0 \cdot B$.

Ahora, solo tenemos que calcular$S_0$en la expresión del canal de capacidad teniendo en cuenta que el logaritmo es base 2.

$$R = W \log_2{(1+ \frac{S}{N})}$$ $$8\cdot 10^6 = 10^6 \log_2{\left(1+\frac{S_0}{4\cdot 10^{-15}}\right)}$$ $$\frac{8\cdot 10^6}{10^6} = \log_2{\left(1+\frac{S_0}{4\cdot 10^{-15}}\right)}$$ $$8 = \log_2{\left(1+\frac{S_0}{4\cdot 10^{-15}}\right)}$$ Ahora, usando la propiedad del logaritmo$a = \log_b{x} \Rightarrow b^a = x$ $$2^8 = 1+\frac{S_0}{4\cdot 10^{-15}}$$ $$256 = 1+\frac{S_0}{4\cdot 10^{-15}}$$ $$255 = \frac{S_0}{4\cdot 10^{-15}}$$ $$255 \cdot 4\cdot 10^{-15} = S_0$$ $$1.02\cdot 10^{-12} = S_0$$ Como$S_0$es potencia, la conversión a dBm es: $$S_0~(dBm) = 10\log_{10}{\frac{1.02\cdot 10^{-12}}{10^{-3}}} \approx -90~ dBm$$

Finalmente, como la señal de salida es 60 dB menor en la salida que en la entrada debido a las pérdidas del canal:

$$S_0 = S_i - L$$ $$S_i = S_0 + L = -90 - \left( -60\right) = -90 + 60 = -30~dBm = 10^{\frac{-30-30}{10}} = 10^{-6}~W = 1~\mu W$$ (Recuerde que dBm a W es$10^{\frac{Power_{dBm}-30}{10}}$)