Superficie que refracta todos los rayos en un solo punto

La curva cerrada para los valores de los parámetros como se muestra en la figura.

No todas las curvas para varios valores de$\:k\:$corresponden a soluciones aceptables. En la segunda figura anterior, las curvas azules son aceptables, pero las curvas verdes deben rechazarse como punto de "empuje".$\:\rm A\:$en medio 2.

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Prueba de que las curvas aceptadas obedecen la ley de Snell:

$$\begin{equation} n_{1}\sqrt{(x\!-\!a)^{2}+y^{2}}+n_{2}\sqrt{(x\!-\!b)^{2}+y^{2}}=k=ct_{\rm AB}=\text{constant} \qquad \Longrightarrow \nonumber \end{equation}$$ $$\begin{equation} \mathrm d \left[n_{1}\sqrt{(x\!-\!a)^{2}+y^{2}}+n_{2}\sqrt{(x\!-\!b)^{2}+y^{2}}\right]=\mathrm d k=0 \qquad \Longrightarrow \nonumber \end{equation}$$ ^{$$\begin{equation} n_{1}\left[\dfrac{(x\!-\!a)}{\sqrt{(x\!-\!a)^{2}+y^{2}}}\mathrm d x +\dfrac{y}{\sqrt{(x\!-\!a)^{2}+y^{2}}}\mathrm d y\right]+n_{2}\left[\dfrac{(x\!-\!b)}{\sqrt{(x\!-\!b)^{2}+y^{2}}}\mathrm d x +\dfrac{y}{\sqrt{(x\!-\!b)^{2}+y^{2}}}\mathrm d y\right]=0 \nonumber \end{equation}$$ $$\begin{equation} \qquad =\!=\!=\!=\!=\!=\!\Longrightarrow \hphantom{===================================================} \nonumber \end{equation}$$ $$\begin{equation} n_{1}\left[\dfrac{(x\!-\!a)}{\sqrt{(x\!-\!a)^{2}+y^{2}}} +\dfrac{y}{\sqrt{(x\!-\!a)^{2}+y^{2}}}\dfrac{\mathrm d y}{\mathrm d x}\right]+n_{2}\left[\dfrac{(x\!-\!b)}{\sqrt{(x\!-\!b)^{2}+y^{2}}}+\dfrac{y}{\sqrt{(x\!-\!b)^{2}+y^{2}}}\dfrac{\mathrm d y}{\mathrm d x}\right]=0 \nonumber \end{equation}$$} $$\begin{equation} \qquad \Longrightarrow \qquad n_{1}\left(\cos\omega_{1} +\sin\omega_{1}\tan\phi\right)+n_{2}\left(-\cos\omega_{2} +\sin\omega_{2}\tan\phi\right)=0 \nonumber \end{equation}$$ $$\begin{equation} \qquad \Longrightarrow \qquad n_{1}\left(\cos\omega_{1}\cos\phi +\sin\omega_{1}\sin\phi\right)-n_{2}\left(\cos\omega_{2}\cos\phi -\sin\omega_{2}\sin\phi\right)=0 \nonumber \end{equation}$$ $$\begin{equation} \qquad \Longrightarrow \qquad n_{1}\cos\left(\phi-\omega_{1}\right) -n_{2}\cos\left(\phi+\omega_{2}\right)=0 \nonumber \end{equation}$$ $$\begin{equation} \qquad \Longrightarrow \qquad n_{1}\sin\underbrace{\left[\dfrac{\pi}{2}-\left(\phi-\omega_{1}\right)\right]}_{\theta_{1}} -n_{2}\sin\underbrace{\left[\dfrac{\pi}{2}-\left(\phi+\omega_{2}\right)\right]}_{\theta_{2}}=0 \nonumber \end{equation}$$ eso es $$\begin{equation} n_{1}\sin\theta_{1} =n_{2}\sin\theta_{2} \qquad \textbf{(Snell's law)} \nonumber \end{equation}$$

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Toma tu expresión y configúrala igual a alguna constante$C$. Cuadrar ambos lados para obtener

$$\left({n \over c}\right)^2 \left( (x-a)^2+y^2 \right)+\left({m \over c}\right)^2 \left( (x-b)^2+y^2 \right)+ 2\left({nm \over c^2}\right)^2\sqrt{ \left( (x-a)^2+y^2 \right)} \sqrt{ \left( (x-b)^2+y^2 \right)}=C^2$$ Reorganizar $$\left({n \over c}\right)^2 \left( (x-a)^2+y^2 \right)+\left({m \over c}\right)^2 \left( (x-b)^2+y^2 \right)-C^2= 2\left({nm \over c^2}\right)^2\sqrt{ \left( (x-a)^2+y^2 \right)} \sqrt{ \left( (x-b)^2+y^2 \right)}$$ Vuelva a elevar al cuadrado ambos lados para deshacerse de todos los signos de raíz cuadrada y reunir términos. Te dejaré hacer el trabajo duro. Esto es técnicamente un cuartico pero hay términos en $y^4$, $y^2$y $y^0$así que esto en realidad te da una ecuación cuadrática para $y^2$en términos de $x,n,m,a,b$y $C$, que es lo que quieres. Entonces $y=\pm\sqrt{y^2}$lo que te da la simetría obvia de la forma sobre el $y=0$eje.

La solución no es única, depende de$C$. Puede elegir el punto en el que la curva cruza el eje.