Simulación del circuito de Chua en LTspice con una resistencia no lineal basada en un transformador de saturación

El circuito de Chua es uno de los circuitos más simples conocidos por exhibir un comportamiento caótico. Se compone de resistencias, condensadores, un inductor y una resistencia no lineal activa. Una implementación de esta resistencia no lineal se muestra en la siguiente figura del circuito de Chua del artículo de Kennedy de 1993 :

Simulé esta resistencia no lineal en LTspice...

... y midió sus características de corriente-voltaje (IV) barriendo V ($V_R$en el circuito de Kennedy) de$-5\text{V}$a$+5\text{V}$y midiendo la salida de corriente a través de V3 ($I_R$en el circuito de Kennedy). Todos los valores de los componentes se eligieron para que coincidieran con los del artículo de Kennedy. Mis resultados se muestran a continuación (y coinciden con los resultados informados por Kennedy, que no se muestran):

Matemáticamente, las características IV de esta resistencia no lineal vienen dadas por:

$I_{R} = \begin{cases} -0.409V_{R} + 0.409, & V_{R} < -1.3 \\ -0.750V_{R}, & -1.3 \geq V_{R} < 1.3 \\ -0.409V_{R} - 0.409, & V_{R} \geq 1.3 \end{cases}$

dónde$V_R$es en voltios y$I_R$está en miliamperios.

Debido a algunas limitaciones de diseño, me gustaría aproximar esta resistencia no lineal a una que emplee un transformador cuyo voltaje de salida se sature. He aproximado la salida del transformador usando una función lineal por partes dada por:

$V_{out} = \begin{cases} 1.25V_{in} - 2.5, & V_{in} < -0.4 \\ 7.5V_{in}, & -0.4 \geq V_{in} < 0.4 \\ 1.25V_{in} + 2.5, & V_{in} \geq 0.4 \end{cases}$

dónde$V_{in}$es en voltios y$V_{out}$está en milivoltios. Soy consciente de que esta función no satura, pero es una aproximación que asumo válida en el rango de$-5\text{V} \leq V_{in} \leq 5\text{V}$.

Mi idea es pasar la salida de este transformador a un amplificador operacional inversor cuya salida luego se alimenta a un amplificador de transconductancia. Este sistema debe tener características IV que coincidan estrechamente con las de la resistencia no lineal de Kennedy. El amplificador operacional inversor hace que las pendientes de los componentes por partes cambien de signo y, juntos, los dos amplificadores operacionales escalan el voltaje de entrada para que la corriente de salida coincida estrechamente con la corriente emitida por la resistencia no lineal en el artículo de Kennedy. Ajustando una regresión lineal de$I_R$contra$V_{out}$, encuentro que el factor de escala debe ser$-0.245\frac{\text{mA}}{\text{mV}}$.

Simulé mi resistencia no lineal propuesta y comparé sus características IV con las de la resistencia no lineal en el circuito de Kennedy. La simulación con mi implementación de la resistencia no lineal se muestra a continuación. Tenga en cuenta que el transformador de saturación se aproxima mediante una fuente de voltaje arbitraria B1 cuya salida V (dada V = ((V(2) < -0.4)*(1.25*V(2) - 2.5) + ((V(2) >= -0.4) & (V(2) < 0.4))*(7.5*V(2)) + (V(2) >= 0.4)*(1.25*V(2) + 2.5))*(10**(-3))en la parte inferior de la figura) es la función lineal por partes dada por$V_{out}$arriba.

Al comparar la corriente a través de la carga R1 en el circuito con mi resistencia no lineal con la corriente a través de V3 en el circuito con la resistencia no lineal de Kennedy, encontramos que son una coincidencia cercana:

Luego, para probar que la corriente emitida por mi resistencia no lineal aún induce un comportamiento caótico en el circuito de Chua, simulé el circuito de Chua en LTspice, reemplazando la resistencia no lineal con una fuente de corriente ideal cuya salida está dada por$V_{out}$(definido arriba) veces la ganancia de$-0.245\frac{\text{mA}}{\text{mV}}$(calculado arriba). Esto da como resultado la siguiente fórmula lineal por partes para$I_{out}$:

$I_{out} = \begin{cases} -0.306V_{in} + 0.613, & V_{in} < -0.4 \\ -1.839V_{in}, & -0.4 \geq V_{in} < 0.4 \\ -0.306V_{in} - 0.613, & V_{in} \geq 0.4 \end{cases}$

dónde$V_{in}$es en voltios y$I_{out}$está en miliamperios. Este circuito se muestra a continuación, donde todos los valores de los componentes y las condiciones iniciales se eligieron para que coincidieran con los del artículo de Kennedy (R8 es una resistencia parásita necesaria) y la salida de la fuente de corriente arbitraria ideal B1 se proporciona I = ((V(2) < -0.4)*(-0.3064*V(2) + 0.6128) + ((V(2) >= -0.4) & (V(2) < 0.4))*(-1.8385*V(2)) + (V(2) >= 0.4)*(-0.3064*V(2) - 0.6128))*(10**(-3))en la parte inferior de la figura.

De hecho, el circuito exhibe un comportamiento caótico, a pesar de la aproximación realizada a la resistencia no lineal de Kennedy :

Por lo tanto, hemos establecido que mi resistencia no lineal basada en transformador tiene características IV similares a la resistencia no lineal de Kennedy, y con una fuente de corriente ideal cuya salida se basa en la de mi resistencia no lineal, se puede replicar la naturaleza caótica del circuito de Chua.

Ahora, llegamos al rompecabezas. Para integrar mi resistencia no lineal en el circuito de Chua, sustituí mi resistencia no lineal por la fuente de corriente ideal para obtener el circuito que se muestra aquí:

El voltaje emitido por la fuente de voltaje arbitraria B1 representa la salida del transformador de saturación. Su valor viene dado por la fórmula lineal por tramos para$V_{out}$se muestra en la parte inferior de la figura ( V = (((V(2)-V(3)) < -0.4)*(1.25*(V(2)-V(3)) - 2.5) + (((V(2)-V(3)) >= -0.4) & ((V(2)-V(3)) < 0.4))*(7.5*(V(2)-V(3))) + ((V(2)-V(3)) >= 0.4)*(1.25*(V(2)-V(3)) + 2.5))*(10**(-3))). Tenga en cuenta, sin embargo, que debido a que el nodo debajo de C2 (nodo 3) ya no está conectado a tierra, la salida de B1 es una función de la diferencia entre los voltajes en los nodos 2 y 3.

Ejecuté la misma simulación que la anterior (con la fuente de corriente ideal) y obtuve un resultado completamente diferente, que se muestra a continuación:

Estoy confundido en cuanto a por qué los resultados no coinciden con los que se muestran para el circuito con la fuente de corriente ideal y realmente podría necesitar ayuda para la depuración.

En respuesta a los comentarios a continuación, publico aquí los valores iniciales para V(1), V(2) e I(L1) tanto en el circuito con la fuente de corriente ideal como con mi resistencia no lineal: