Si una rendija se ilumina con luz, ¿el electrón aún conservará su patrón de interferencia?

El patrón de interferencia desaparecerá si el electrón interactúa con los fotones (la iluminación de la rendija), porque entonces ocurre un evento localizado y la trayectoria del electrón, es decir, qué rendija se tomó, es clara.

Si envía solo unos pocos fotones, la probabilidad de interacción es pequeña. Sin interacción entre los medios patrón de interferencia. Entonces, es una pregunta si sucede algo, y la probabilidad de que eso sea proporcional al número de fotones.

Para saber a dónde va el electrón, primero debe aceptar que la respuesta será una distribución de probabilidad, no un solo punto.

Para encontrar la probabilidad de que el electrón llegue a un punto$P$en la pantalla, tienes que sumar dos números, y luego tomar el cuadrado del módulo. Estos son números complejos. llamémoslos$a$y$b$. Dejar$x$Sea la ubicación del punto en la pantalla donde finalmente se observa que llega el electrón. Entonces los números complejos (llamados amplitudes cuánticas) dependerán de$x$, y la probabilidad es

$$\mbox{Probability(electron arrives at $x$)} = | a(x) + b(x) |^2$$ Primero supongamos que no hay luz iluminando las rendijas. En este caso la fórmula de$a(x)$y$b(x)$es bastante simple: solo toma la distancia desde la rendija relevante hasta el punto en$x$y dividir por la longitud de onda de De-Broglie de los electrones, y esto te dice la fase (después de multiplicar por$2\pi$). Es como una onda que se propaga, por eso$\psi(x) = a(x) + b(x)$a menudo se llama una función de onda. De todos modos encuentras $$a(x) = A e^{-i\phi(x)/2}, \;\;\;\;\; b(x) = B e^{i\phi(x)/2}$$ dónde$A$y$B$depender muy poco de$x$, pero la fase$\phi(x)$es bastante sensible: $$\phi(x) = \frac{2 \pi x d }{\lambda L}$$ dónde$d$es la separación de las rendijas y$L$la distancia de las rendijas a la pantalla, y asumimos$L \gg x,d$para que la combinación$x/L$es el ángulo subtendido en las rendijas por los diversos lugares$x$en la pantalla.

Ahora, el patrón de interferencia que se observa (cuando ninguna luz ilumina las rendijas) tiene mucho que ver con la fase$\phi(x)$. Porque cuando$A$y$B$son iguales (que es una buena aproximación en la práctica) tenemos

$$\mbox{Probability} = |A|^2 |e^{-i\phi(x)/2} + e^{i\phi(x)/2}|^2 = 4|A|^2 \cos^2(\phi(x)/2).$$ Eso$\cos^2$función es el patrón de interferencia.

Bien, por fin llegamos a lo que sucede cuando la luz ilumina las rendijas. Tomemos el caso en que la luz ilumina solo una rendija$B$. El efecto de esto es introducir un cambio en$b(x)$. La interacción entre la luz en el electrón le da un cambio de impulso al electrón, de modo que ahora se propaga alejándose de la rendija B en una nueva dirección (otra forma de analizar invoca la idea de entrelazamiento, pero no adoptaré ese enfoque). La dirección que toma el electrón después de interactuar con el fotón es tal que conserva la cantidad de movimiento, por lo que depende del cambio en la cantidad de movimiento del fotón. Pero para incidir en una rendija y no en la otra, el haz de luz debe tener un foco estrecho y, por lo tanto, la dirección de viaje del fotón se distribuye en un rango (un ejemplo del principio de incertidumbre de Heisenberg, aquí aplicado a los fotones que llegan a la hendidura). En consecuencia, la dirección de viaje del electrón después de interactuar con el fotón también se extiende sobre un rango. Este rango de ángulos es aproximadamente

$$\Delta \theta \simeq \frac{p_{\rm photon}}{p_{\rm electron}}$$ donde aqui$p$se refiere a la cantidad de movimiento, y asumimos$p_{\rm photon} < p_{\rm electron}$. Esta es la fórmula porque el electrón recibe un impulso de aproximadamente$p_{\rm photon}$por lo que su dirección de desplazamiento se gira hacia un lado aproximadamente$\Delta \theta$. Ahora recuerda que$x/L$es el ángulo (es decir, el ángulo que se aleja de la normal al plano de las rendijas) de ubicación$x$en la pantalla. La contribución a la función de onda de la rendija B ahora es desviada por$\Delta \theta$, lo que significa que es dirigido por $$\Delta x = L \Delta \theta$$ Así que ahora tenemos la probabilidad de que el electrón llegue a$x$: $${\rm Probability} = 4 |A|^2 | e^{-i\phi(x)/2} + e^{i\phi(x + \Delta x)/2}|^2$$ donde tenemos que tener en cuenta que$\Delta x$aquí está diciendo la cantidad por la cual$x$puede variar entre un electrón y el siguiente a medida que se construye el patrón de interferencia. Las matemáticas pueden parecer complicadas, pero la idea central es que el impulso causado por la luz cambia el patrón de interferencia en un cambio aleatorio que varía de un electrón al siguiente . Pero cuando agregas un montón de patrones de interferencia cambiados al azar, el patrón desaparece, porque las regiones brillantes de un patrón llenan las regiones oscuras de otro.

Veamos qué tan grande debe ser este cambio para eliminar el patrón. requerirá

$$\Delta x > \lambda L/d$$ (porque esa es la separación entre las franjas). Por lo que requerirá $$\Delta \theta > \lambda / d$$ y por lo tanto $$p_{\rm photon} > p_{\rm electron} \lambda / d.$$ Ahora la longitud de onda de De Broglie está relacionada con el impulso por$\lambda = h / p$dónde$h$es la constante de Planck, entonces tenemos $$p_{\rm photon} > \frac{h}{d}$$ o en otras palabras $$p_{\rm photon} d > h.$$

La razón por la que presenté los detalles matemáticos fue realmente para dejar en claro que la declaración anterior en negrita, sobre el golpe de impulso, realmente contiene la física aquí. No hay necesidad de decir "a veces es una onda, a veces es una partícula" o algo por el estilo. Es simplemente un caso de una cosa interactuando con otra, la conservación del impulso y el hecho de que el impulso del impulso involucra una dirección aleatoria tomada por el fotón entrante o saliente o ambos.

Como insinué anteriormente, el mismo resultado también se puede calcular manteniendo el estado cuántico del fotón en el cálculo, y luego obtendrá un estado entrelazado y el problema es si los posibles estados finales del fotón son mutuamente ortogonales. Si lo son, entonces el fotón contiene información de 'qué camino' y la interferencia de electrones se desvanece. Esto proporciona una buena perspectiva adicional, pero el cálculo anterior en términos de impulso de impulso es completamente equivalente.