Presumiblemente estás haciendo una simulación monocromática. En una sola frecuencia, no hay par$(n_r , n_i)$eso está prohibido por KK. Por lo tanto, es imposible elegir un par no físico. KK no es tu problema.

Tenga en cuenta que puede elegir un par que describa un material con ganancia . En ese caso, es posible calcular correctamente$R>1$. Pero todo el cálculo a menudo puede no tener sentido en esta situación, porque está calculando cuál es la solución finita, y si hay una inestabilidad de láser, la solución finita en realidad no sucederá.

Finalmente, el medio de partida es el vacío, dice, por lo que esto no es relevante para su pregunta. Pero si tuviera que usar un medio de partida con algo de absorción , es posible obtener cosas extrañas como$R+T>1$y creo que incluso$R>1$. Estos son realmente correctos (lo creas o no), porque$R$tiene una especie de significado sutil. Para obtener detalles sobre esto, consulte https://arxiv.org/abs/1603.02720 , apéndice B.

por ejemplo, la reflexión va por encima de 1 (lo que representa más energía que se refleja en el material que la que entró en él).

Gran trabajo con tu experimentación numérica: ¡Me gusta mucho cómo sigues tu curiosidad! Eres claramente un físico y te has acercado mucho a la respuesta a la pregunta por tu resultado anterior.

Las relaciones de Kramers-Kronig se obtienen suponiendo que el índice de refracción es holomorfo en el semiplano derecho cerrado y extendido $\mathcal{R}=\left\{z\in\mathbf{C}:\,\mathrm{Re}(z)\geq 0\right\}\bigcup\left\{z_\infty\right\}$(aquí$z_\infty$es el punto en el infinito - el polo norte de la esfera de Riemann).

El significado físico de esto es el siguiente. Piense en un generador de ondas electromagnéticas que funciona pulsando el campo eléctrico.$E_x(t)$en el$x$dirección, digamos entre las placas de un capacitor realmente grande. el campo magnetico$H_y(t)$en el$y$la dirección se relaciona causalmente con el campo eléctrico a través del índice de refracción: el campo magnético transformado de Fourier (con respecto al tiempo) es$H_y(\omega) = n(\omega) \sqrt{\epsilon_0/\mu_0}\tilde{E}_x(\omega)$. Entonces, si el campo eléctrico es un impulso unitario, el campo magnético es proporcional a la transformada inversa de Laplace de$n(s)$. Lo que sea$n(s)$tiene un poste, digamos en$s_0\in\mathbb{C}$, hay un componente$e^{s_0\,t}$en el campo magnético.$e^{s_0\,t}$explota con el tiempo creciente si la parte real de$s_0$es mayor que nada. Por lo tanto, no puede haber polos en el semiplano derecho para un sistema causal y estable.$n(s)$debe ser holomorfa en el semiplano derecho extendido. Si no es así, tiene un sistema inestable que puede generar espontáneamente un campo sin entrada; por lo tanto, un sistema inestable viola la conservación de energía; esta es la razón de su coeficiente de reflexión mayor que la unidad.

Entonces, si tiene un sistema cuyo índice de refracción en función de la frecuencia no cumple con las relaciones de Kramers-Kronig, no puede ser causal o estrictamente estable.

algunos antecedentes

Busque la página de Wikipedia para las relaciones Kramers-Kronigpor una derivación. Pero encuentro satisfactorio pensar en esto de manera un poco abstracta sin derivarlos de la siguiente manera. Que debe haber tales relaciones es muy, muy fundamental para la idea de una función holomorfa y se puede captar fácilmente sin derivar tales relaciones de la siguiente manera: supongamos que dos funciones holomorfas tienen las mismas partes reales en el eje imaginario y ambas son holomorfas en el cerrado. , semiplano derecho extendido. Entonces su diferencia debe ser puramente imaginaria en el eje imaginario. Ahora considere su diferencia en el plano transformado donde el semiplano derecho se asigna al interior del disco unitario mediante la transformación bilineal conforme anterior. La diferencia debe ser holomorfa en el disco unitario cerrado y como tal tiene una serie de Taylor convergente en el círculo unitario. Sin embargo,$c_n\,z^n−c_n^∗\,z^{−n}$. Esto es inconsistente con la serie de Taylor a menos que la serie de Taylor sea una constante (de lo contrario, contendría potencias negativas de z). Por lo tanto, las dos funciones holomorfas originales solo pueden diferir en una constante. Así, la parte real de una función holomorfa en el semiplano derecho cerrado y extendido define una única parte imaginaria dentro de una constante y viceversa. Un razonamiento totalmente análogo se aplica a las funciones holomorfas en el semiplano cerrado, extendido a la derecha, superior e inferior o, de hecho, en cualquier región cerrada simplemente conectada en el plano complejo extendido (esfera de Riemann).

Una prueba aún más concisa (aunque no tan de "primeros principios" en la naturaleza) es la siguiente: la diferencia entre las dos funciones es puramente imaginaria en el eje imaginario. Una variación simple del principio de reflexión de Schwarz muestra que la diferencia debe ser holomorfa en la mitad izquierda cerrada y extendida, así como en la mitad derecha del plano. Luego la diferencia es entera; además, está acotado en el punto en el infinito. El teorema de Liouville muestra entonces que la diferencia debe ser una constante.