¿Se podría usar la Tierra para lanzar una mancha de arago/poisson en algo?

Una limitación es la recomendación $F=\frac{d^2}{b\lambda}\geq 1$, en este caso con$d=12700 \mbox{ km}$sobre el diámetro de la Tierra,$\lambda=600 \mbox{ nm}$alguna longitud de onda de la luz visible, y$b$la distancia entre el obstáculo circular y el observador. Por lo tanto, la distancia entre la Tierra y el observador debe ser

$b\leq \frac{d^2}{\lambda}=\frac{(12700\cdot10^3\mbox{ m})^2}{600\cdot 10^{-9}\mbox{ m}}=481.67\cdot 10^{18}\mbox{ m}$

Otra restricción es la rugosidad de la superficie del objeto circular :$\Delta r < \sqrt{r^2 + \lambda\frac{gb}{g+b}}-r$, con$r=6350\mbox{ km}$el radio del obstáculo circular (aquí la Tierra),$g$la distancia entre la fuente de luz puntual y el obstáculo circular, y$b$la distancia entre el obstáculo circular y la pantalla.

Para simplificar los cálculos, digamos$g\gg b$. Entonces aproximadamente$\Delta r < \sqrt{r^2 + \lambda\frac{gb}{g}}-r = \sqrt{r^2 + \lambda b}-r$.

Después de agregar$r$y al cuadrar se obtiene$(\Delta r +r)^2<r^2+\lambda b$. Esto simplifica a$(\Delta r)^2+2r\Delta r<\lambda b$. Asumir$\Delta r\ll r$, y despreciar el segundo orden$(\Delta r)^2$Llegar$2r\Delta r<\lambda b$. Dividido por$\lambda$obtener una restricción aproximada para$b$como

$b>\frac{2r\Delta r}{\lambda}$. Con$2r=12700 \mbox{ km}$sobre el diámetro de la Tierra,$\lambda=600 \mbox{ nm}$alguna longitud de onda de la luz visible, obtenemos

$b>\frac{12700\cdot 10^3\mbox{ m}\cdot\Delta r}{600\cdot 10^{-9}\mbox{ m}} = 21.1667\cdot 10^{12}\Delta r$.

Las dos restricciones permiten valores razonables de$\Delta r$. Suponga una rugosidad de la superficie de la Tierra de, por ejemplo,$\Delta r = 1\mbox{ km}$. Entonces un rango válido de distancias de los observadores estaría entre$0.00224$y$50912$ años luz de$9.4607\cdot 10^{15}\mbox{ m}$de la tierra.

En unidades astronómicas de $149597870700\mbox{ m}$la distancia más cercana de un observador sería$141.49 \mbox{ au}$de la tierra.

Sin embargo, debido al achatamiento de la Tierra, obtendría una función de dispersión de puntos significativamente diferente de un punto para esta distancia "corta" de la Tierra. Podría ser posible corregir esto con una óptica de telescopio adecuada.

El efecto de la lente gravitacional es$\theta=\frac{4GM}{rc^2}=2.969\cdot 10^{-27}\frac{\mbox{m}}{\mbox{kg}}\frac{M}{r}$, después de aplicar la constante de gravitación $G$y la velocidad de la luz $c$. con la masa$M=5.97237\cdot 10^{24}\mbox{ kg}$y un radio de$r=6350000\mbox{ m}$de la Tierra , obtenemos un ángulo de$\theta=2.793\cdot 10^{-9}$por lentes gravitacionales en la superficie de la Tierra.

Esto enfocaría rayos de luz paralelos a un punto cercano a una distancia de$b=\frac{r}{\tan \theta}=130.27\cdot 10^{15}\mbox{ m}$, o$13.77$años luz, por lo tanto, mucho más allá de la distancia mínima donde podría formarse un punto de Arago. Pero, por supuesto, el pico más interno de la función de dispersión de puntos estaría más cerca de un disco circular a esta distancia mayor con lentes gravitacionales relevantes.