Relación de inductancia a capacitancia en filtro LC para PWM

El "pico" máximo se puede calcular en general para la respuesta de un sistema LTI de segundo orden, pero es un ejercicio algo complicado dependiendo de si tiene un sistema sobreamortiguado o subamortiguado.

La idea general es calcular la función de transferencia (en el dominio s), aplicar la transformada inversa de Laplace para obtener la respuesta de impulso en el dominio del tiempo y luego igualar esto a cero para encontrar los extremos de la respuesta al escalón. Este método se basa en el hecho de que para un sistema LTI, la derivada de la respuesta al escalón es igual a la respuesta al impulso . Pero esto solo da los puntos de abscisas (tiempo de los extremos). Para obtener el valor de sobreimpulso real, debemos sustituirlo por la respuesta de paso real. Encontrar este último es en realidad más difícil, ya verás.

Entonces, para comenzar, en tu circuito, la función de transferencia es

$$H(s) = \frac{\frac{1}{\frac{1}{R}+Cs}}{\frac{1}{\frac{1}{R}+Cs}+Ls} = \frac{R}{RLCs^2+Ls+R}$$

porque tiene un divisor de voltaje creado por L y el paralelismo de R y C. ( Verificación matemática ). También podría usar un solucionador de circuito simbólico (como qsapecng) para obtenerlo/verificarlo:

Para calcular el máximo, primero debe aplicar la transformada inversa de Laplace para obtener la respuesta de impulso en el dominio del tiempo y resolver los ceros de esto (en el tiempo). El primero se puede hacer rápidamente con un programa matemático , pero da como resultado una fórmula peluda como la que se muestra a continuación, que también usa exponenciales de argumentos complejos, por lo que contiene sinusoides "ocultos" en los casos en que los radicales producen números imaginarios.

O podemos hacer esto de manera más perspicaz (primero) poniendo la función de transferencia en la forma polar estándar para un sistema de segundo orden :

$$H(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}$$

dónde$\omega_n$se llama la frecuencia natural (angular) y$\zeta$es la relación de amortiguamiento. Para este circuito (al dividir con RLC el denominador y el denominador e identificar la potencia de s de las dos expresiones de H),

$$\omega_n = \frac{1}{\sqrt{LC}}\;\; \text{and}\;\; \zeta = \frac{1}{2R}\sqrt{\frac{L}{C}}$$

(Ejercicio: relaciónelos con Fc y Q de su pregunta).

La inversa de Laplace de esta forma estándar de H(s) es algo más inteligible, incluso cuando se resuelve mediante un programa , que de hecho le brinda una respuesta más general [aunque quizás algo confusa] en comparación con el libro de texto de ingeniería promedio:

$$h(t) = \frac{\omega_n^2}{\sqrt{\zeta^2-1}}\exp(-t\omega_n\zeta )\sinh\Big(t\omega_n \sqrt{\zeta^2-1}\Big)$$

(Escribí el exponencial así porque su exponente era un poco ilegible en la notación de superíndice habitual). Tenga en cuenta que esta expresión compacta puede implicar un cálculo numérico complejo. Por ejemplo, en el caso sub-amortiguado (por ejemplo, como se ve en su último gráfico)$0 < \zeta < 1$. Así que en este caso:

• $\sqrt{\zeta^2-1} = \sqrt{-1}\sqrt{1-\zeta^2}$y
• $\sinh(t\omega_n\sqrt{\zeta^2-1}) = \sqrt{-1}\sin(t\omega_n\sqrt{\zeta^2-1})$

donde en la última igualdad usamos el hecho de que$\sinh(x\sqrt{-1}) = \sqrt{-1} \sin x$. Después de los dos$\sqrt{-1}$se cancelan entre sí, obtenemos la fórmula de libro de texto para el caso subamortiguado:

$$h(t) = \frac{\omega_n^2}{\sqrt{1-\zeta^2}}\exp(-t\omega_n\zeta )\sin\Big(t\omega_n \sqrt{1-\zeta^2}\Big)$$

Finalmente, necesitamos encontrar los ceros de esta respuesta de impulso (o incluso la forma senh anterior, más general) y luego dar cuenta del intervalo de$\zeta$):

$$t_p = \frac{n\pi}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2}}$$

dónde$n$es entero positivo. El primer (y más grande) pico ocurre para$n=1$. Ahora, para obtener el valor de la ordenada de la respuesta al escalón en este momento, necesitamos la respuesta al escalón real en el dominio del tiempo.

Por desgracia, obtener la respuesta de paso real de manera agradable / perspicaz mediante la transformada inversa de Laplace, supera incluso las habilidades de Wolfram Alpha . Entonces recurrimos a un libro de texto para esto (que también verifica la fórmula de impulso que obtuvimos):

Sin embargo, podemos verificar mecánicamente que la derivada de esta respuesta escalonada nos da la respuesta de impulso . Después de esa verificación de cordura, procedemos a sustituir la abscisa por el primer pico, para obtener el valor del pico [ordenado] (para una unidad, es decir, paso de 1V):

$$G_p = 1 + {\exp\Big(-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}\Big)}$$

Tenga en cuenta que el 1 tiene sentido ya que para amortiguación insuficiente siempre tendremos un sobreimpulso, así que espere que ese pico exceda el 1V que aplicamos. Finalmente, sustituyamos R, L y C en esto :

Esto da

$$G_p = 1 + \exp \Big(-\frac{\pi}{\sqrt{\frac{4CR^2}{L}-1}}\Big)$$

¡Finalmente verifiquemos esto en un ejemplo!

Bueno, no están completamente de acuerdo, pero creo que se acercan lo suficiente. Si verifica el inductor de LTspice, verá que usa una resistencia en serie de 1 mohm [de forma predeterminada, y no creo que pueda forzarlo a cero]. Entonces el circuito no es el mismo. No puedo molestarme en volver a resolver esto con esa resistencia agregada ... Sospecho que la fórmula sería mucho más complicada.

Y me las arreglé para encontrar un folleto que da la fórmula máxima (para el sistema general de segundo orden) [en la p. 9] pero sin prueba, que verifique lo anterior.