¿Qué versión de rummy es esta?

Esto me lo enseñó mi abuela cuando era niño. Así es como mi familia juega lo que llamamos rummy, pero no puedo encontrar nada parecido en línea:

Dos jugadores más (hemos jugado hasta 4), todos repartieron 7 cartas. El mazo se coloca boca abajo y una carta boca arriba, el jugador de la derecha va primero. Pueden tomar la carta boca arriba o la carta superior del mazo y luego descartar una sola carta. El siguiente jugador puede tomar la carta superior de la pila de descartes, o toda la pila de descartes, o una sola carta del mazo, y luego descartar una sola carta. El juego continúa así.

Los jugadores pueden hacer series de 3 o más y combinaciones de 3 o más en cualquier momento durante su turno. Después de esto, un jugador que ha logrado una carrera o una combinación propia puede en su turno agregar carreras y combinaciones a otros jugadores (manteniéndolos con sus propias cartas, por ejemplo, digamos que el jugador uno tenía 7, 8, 9 y 10 de corazones abajo... el jugador dos, siempre que también haya hecho su propia carrera/combinación colocada abajo, puede colocar solo una jota de corazones, el jugador uno podría colocar solo una reina de corazones, etc.)... puedes elige dejar tus carreras y combinaciones inmediatamente después de obtenerlas o puedes mantenerlas y la mitad del mazo en tu mano (si sigues recogiendo la pila de descarte) hasta que puedas salir, si no te quedan cartas en la mano. Tu decides. No necesita dar ninguna advertencia antes de salir, y salir no requiere descartar una tarjeta.