69 grados de arco

Tamaño aparente en el cielo

La fórmula para el ángulo visual de un objeto es

$$\alpha = 2\arctan{\frac{2r}{2d}},$$ dónde $\alpha$es el ángulo visual del objeto, $r$es el radio del objeto (para una esfera, que es de lo que estaremos hablando), y $d$es la distancia del espectador al objeto.

Limite de$d$: ¿qué tan cerca puede estar una luna?

El límite de Roche para una luna esférica rígida, teniendo en cuenta su rotación sincrónica es

$$d_{roche} = \left(\frac{9M_M}{4\pi\rho_m}\right)^{1/3},$$

dónde$d_{roche}$es el límite de Roche,$M_M$es la masa del planeta (la Tierra en este caso,$5.97\times10^{24}$kg), y$\rho_m$es la densidad de la luna.

Limite de$r$: ¿Qué tan grande puede ser la luna?

El límite para el tamaño de la luna es el punto donde la luna se vuelve más masiva que el planeta. Así, la masa de la luna debe ser, como máximo, igual a la masa de la Tierra.

Hay muchas maneras en que podemos expresar esta masa, pero deseamos resolver para$r$en términos de algo que ya estamos usando como variable; a saber,$\rho_m$. Por lo tanto

$$\begin{align}M_M &= M_m \\ &= \frac{4}{3}\pi r^3\rho_m \\ r &= \left(\frac{3M_M}{4\pi\rho_m}\right)^{1/3}. \end{align}$$

Eso parece sorprendentemente familiar...

Poniendo todo junto

Ahora conectamos nuestro mínimo$d$y máximo$r$en la ecuación del ángulo visual

$$\begin{align} \alpha &= 2\arctan{\frac{2r}{2d}} \\ &=2\arctan{\frac{\left(\frac{3M_M}{4\pi\rho_m}\right)^{1/3}}{\left(\frac{9M_M}{4\pi\rho_m}\right)^{1/3}}} \\ &=2\arctan{(1/3^{1/3})} \\ &= 1.213 \text{ radians}. \end{align}$$ Los términos de densidad se anulan convenientemente, por lo que nos queda un valor máximo de 1,213 radianes.

Conclusión

Si hay dos planetas con la masa de la Tierra orbitando entre sí como planetas binarios, a la distancia más cercana posible según sus límites de Roche; parecerían tener 69 grados de arco de ancho en el cielo.

En realidad, hay infinitas soluciones a este problema. Una 'luna' de masa terrestre menos densa tendría un radio más grande, pero tendría que estar más lejos para no ser separada por la gravedad. Así que puedes tener alguna variación aquí, dentro de los límites razonables de la densidad planetaria. Por ejemplo, una luna con la masa de la Tierra a la distancia de la Luna tendría que ser de 1320 kg/m$^3$ser el tamaño visual máximo. Eso es apenas más que la densidad del agua, por lo que es poco probable a menos que sea principalmente de gas como un gigante gaseoso (¿enano gaseoso?).

Así que esto habla de su problema de efectos gravitacionales. Dado que la gravedad cae como el cuadrado de la distancia, un objeto de menor densidad más lejano tendría efectos gravitacionales mínimos.

También tenga en cuenta que esta órbita mínima es casi seguro que no es estable a largo plazo. Cualquier luna razonable tendría que ser más pequeña. Pero si los medios artificiales son aceptables, entonces puede tener un satélite estable a corto plazo que ocupe casi la mitad del cielo.

Bueno... aquí hay algunos cálculos al dorso de la servilleta para usted.

Nomenclatura:

• M = masa del cuerpo más grande
• m = masa del cuerpo más pequeño
• R = radio del cuerpo más grande
• r = radio del cuerpo más pequeño
• d = distancia entre el centro de los dos cuerpos
• Theta = tamaño angular aparente de la luna/planeta en el cielo

Al rascar un trozo de papel, el tamaño aparente de una luna en el cielo es:
Theta = 2*tan^-1(r/(dR))

De Wikipedia , el límite de Roche para un cuerpo rígido (este es el extremo, pero las matemáticas son un poco más fáciles):
d = 1.26r(M/m)^1/3

Saqué algunos números de esta tabla y los conecté para resolver Theta.

• Tierra/Luna = 58,4 grados
• Tierra/Tierra = 150,9 grados
• Júpiter/Tierra = 110,6 grados
• Sol/Tierra = 103,4 grados

Para los dos últimos, cambié la r y la R en la ecuación de Theta, ya que lo que nos importa es el límite de Roche del cuerpo más grande, pero el observador aún está parado en la Tierra.

Bueno, esas son respuestas divertidas. Como referencia, la Luna mide aproximadamente medio grado o 30 '(60 minutos de arco en un grado). La conclusión sería que lo más grande que puedes poner en el cielo será un planeta binario de igual masa. Si decide tener la Tierra como el cuerpo más pequeño, obtiene rendimientos decrecientes. Estos son los números de paso más cercanos, la mayoría de las órbitas no son círculos perfectos, por lo que la luna no tiene que verse tan grande todo el tiempo. Finalmente, el límite real de Roche va a estar en algún lugar entre los números de satélite rígidos y fluidos, acabo de hacer el rígido arriba y eso permite que la luna se acerque mucho más. Entonces, algunas distancias intermedias no se verán tan impresionantes en términos del tamaño aparente de la luna. Veré las cosas fluidas más tarde y las agregaré como una edición.