¿Qué paso me he perdido al diseñar este amplificador diferencial?

Es la primera vez que publico en EE.SE y espero que esta pregunta no sea demasiado amplia. Esta será una publicación larga. También debo señalar: estoy preguntando el proceso y no la solución del problema. Creé un circuito que funciona, pero también encontré un circuito en línea que es más simple y probablemente funciona mucho mejor en la vida real. La pregunta central aquí es: ¿ qué camino/proceso de pensamiento podría haber tomado para llegar a la solución más concisa? Entiendo bien mi diseño y funciona, al menos en LT Spice, pero usa más componentes para llegar allí. Entiendo las matemáticas detrás de ambas soluciones y por qué ambas funcionan, así que tampoco necesito que me lo explique. Es solo el camino / camino para lograr la última solución lo que me elude.

La tarea: diseñar un circuito que amplifique la diferencia entre dos voltajes de entrada por dos.

Mi procedimiento: abrí LT Spice e inmediatamente comencé con un amplificador operacional. Primero, quería encontrar una topología que funcionara (puedo calcular los valores exactos más adelante). Conecté ambos voltajes de entrada a las dos entradas y ejecuté una resistencia de retroalimentación para obtener una ganancia de dos.

Perdón por el cluster de un circuito (solo un prototipo). La diferencia entre Vin1 y Vin2 es de aproximadamente 1 V, pero Vout es de 3 V. Obviamente, eso es incorrecto y rápidamente me di cuenta de por qué. Claro, la diferencia se amplifica en 2, pero se resta de Vin2, lo que da no 2 V, sino 3 V (Vin2 = 5 V, por lo que 5 V - 2 V = 3 V en Vout).

El primer intento me hizo darme cuenta de un par de cosas. Mi resultado deseado aparece en esta solución, pero es 1) invertido y 2) con respecto a Vin2, no molido como esperaba. Habiéndolo analizado, ahora es obvio, pero antes no lo era (cerebro principiante, bueno). Dado que la entrada no inversora parece ser la referencia aquí, pensé que solo tenía que configurarla a tierra y luego alimentar la diferencia entre Vin1 y Vin2 en una de las entradas.

Combinar los voltajes es fácil, pero uno de ellos debe invertirse para que se cancelen por superposición. Lo único que quedaría sería la diferencia, que se puede alimentar a la etapa del amplificador. Decidí alimentar Vin1 a través de un inversor. El otro voltaje se superpone directamente y la diferencia se alimenta a un amplificador con ganancia 2, dando al circuito así:

La simulación verifica que el circuito funciona como se esperaba. Los requisitos de la tarea están satisfechos.

Después de haber pasado por el proceso de diseño yo solo, busqué un amplificador de amplificador operacional diferencial en línea y encontré a este tipo (de electronics-tutorials.ws ):

¡Que demonios! ¿Cómo me perdí eso? ¡Esto ni siquiera se me ha pasado por la cabeza! Después de fallar con la alimentación de Vin2 en la entrada no inversora, reelaboré mi diseño en función de mis observaciones. Observé que Vout será una compensación de voltaje con respecto a la entrada no inversora y, después de eso, llegué a una solución funcional. ¡Pero esta también es una solución funcional! ¿Qué podría haber observado en mi intento inicial que me hubiera llevado a descubrir la solución más simple presentada en los tutoriales de electrónica? Siento que hay una mentalidad aquí que se me escapa por completo, y estoy tratando de encontrarla. Espero que ustedes, a quienes se les ocurrió un diseño como este de inmediato, puedan ayudarme señalándome el eslabón perdido. Ustedes son mucho más inteligentes que yo. :)

EDITAR: Me tomé un par de días para reflexionar sobre este problema y creo que descubrí cómo llegar allí. Según la sugerencia de Reinderien, tomé el circuito inicial que tenía y descubrí la función de transferencia:

$$V_{out}(t) = \frac{R_2}{R_1}(V_{in2}(t)-V_{in1}(t)) + V_{in2}(t)$$

Que es básicamente lo que ya esperaba de la simulación que ejecuté en LT Spice. Obtengo la diferencia entre las dos entradas, multiplicada por la ganancia y compensada por la entrada en el pin del amplificador operacional no inversor.

Empecé a pensar en cómo podría deshacerme del Vin2 compensado. Necesitaba de alguna manera que ambos términos de Vin2 se cancelaran para obtener solo la diferencia. El método se me ocurrió cuando recordé que esto es lo que obtienes si calculas un circuito equivalente de Thevenin. Por ejemplo, en un circuito divisor de voltaje simple, terminamos con el voltaje de la fuente multiplicado por un factor determinado por las resistencias. La corriente aquí no es de particular importancia ya que el amplificador operacional ideal no consume corriente por sí mismo, por lo que no carga la red equivalente (sí, entiendo que en el mundo real, la impedancia de entrada importaría considerando el voltaje la fuente se cargaría, pero por el bien del argumento, y considerando que es una clase de electrónica básica, suponga que los planetas se alinean correctamente). Entonces,

$$\begin{eqnarray*} \frac{R_2}{R_1}(V_2-V_1)&=&\frac{R_2}{R_1}(\alpha V_2 - V_1) + \alpha V_2\\ &=&\frac{R_2}{R_1}\alpha V_2 + \alpha V_2 - \frac{R_2}{R_1}V_1\\ &=&V_2 (\alpha \frac{R_2}{R_1}+\alpha ) - \frac{R_2}{R_1}V_1\\ &=&\frac{R_2}{R_1}\left[ V_2(\alpha +\frac{\alpha R_1}{R_2}) - V_1\right] \end{eqnarray*}$$

La ecuación de la izquierda y la derecha son las mismas, excepto por el factor (a*R2/R1 + a). A la izquierda, el coeficiente de coincidencia es 1. Solo hay una posibilidad. Sea lo que asea, todo eso tiene que funcionar en 1, así que

$$\begin{eqnarray*} 1&=&\alpha + \frac{\alpha R_1}{R_2}\\ R_2&=&R_2\alpha + R_1\alpha\\ R_2&=&(R_2 + R_1)\alpha\\ \frac{R_2}{R_2 + R_1}&=&\alpha \end{eqnarray*}$$

Creo que eso es bastante satisfactorio. Cuando atenuamos Vin2 por la razón complementaria (a falta de una palabra mejor) de la ganancia, las sumas resultan perfectas .