¿Qué maniobra orbital se considera actualmente como la más viable para una misión humana a Marte?

Para aclarar completamente lo que quiero decir, solo me preocupan las órbitas de transferencia como Hohmann, bi-elíptica, etc.

No es ninguno de esos. Ambos son para transferir de una órbita circular a otra, y con ambas órbitas en el mismo plano orbital. Ni la órbita de la Tierra ni la de Marte son circulares. La órbita de Marte es notablemente no circular, con una excentricidad de 0,0934. La órbita de Marte está inclinada con respecto a la órbita de la Tierra en 1,85 grados. Esto es más que suficiente para convertir una transferencia de Hohmann en una ficción inútil. (Aparte: incluso si las órbitas fueran circulares y en el mismo plano, una transferencia bielíptica no tendría sentido para las transferencias de la Tierra a Marte. Las órbitas están demasiado cerca una de la otra).

Lo que se hace en cambio es resolver el problema de Lambert , una y otra y otra vez. Dada una masa central, un par de puntos distintos en el espacio$\vec r_1$y$\vec r_2$en relación con esa masa central, y un par de puntos en el tiempo$t_1$y$t_2>t_1$, el problema de Lambert consiste en resolver la sección cónica que comienza en$vec r_1$en el momento$t_1$y se cruza$\vec r_2$en el momento$t_2$.

A excepción de los puntos diametralmente opuestos y los puntos alineados radialmente, existen dos soluciones de este tipo para el problema de Lambert. Uno, "el camino corto" (o, a veces, una transferencia de Tipo 1), implica un cambio en la anomalía real de menos de 180 grados. La otra solución, "el camino largo" (o, a veces, una transferencia de tipo 2), implica un cambio en la anomalía real de más de 180 grados. Nota: Algunas de estas soluciones pueden implicar ir más rápido que la velocidad de la luz. Eso no es un problema en la mecánica newtoniana. Es un problema con respecto a delta-V. En cuanto a esos puntos diametralmente opuestos y puntos alineados radialmente: Estos son problemáticos con respecto al problema de Lambert. Las soluciones son singulares. El enfoque general es ignorar esos puntos.

Supongamos que el punto$\vec r_1$representa un punto en alguna órbita inicial en el tiempo$t_1$, y punto$\vec r_2$representa un punto en alguna órbita objetivo en el tiempo$t_2$. Con esto, se puede calcular el delta V necesario en el momento$t_1$para transferir de la órbita inicial a una de esas trayectorias de Lambert y el delta V necesario en el momento$t_2$para transferir desde esa trayectoria de Lambert a la órbita objetivo. Este es el costo delta-V para esa trayectoria en particular. Una de las dos soluciones tendrá un costo más alto (típicamente mucho más alto) que la otra. Descartaremos la solución de alto costo.

Ahora haz esto una y otra y otra vez, pero con diferentes horarios de salida.$t_1$y tiempos de llegada$t_2$. Genere un diagrama de contorno con fechas de salida y en un eje y fechas de llegada en el otro, y eventualmente obtendrá algo como esto, de
"Porkchop" es el primer elemento del menú en un viaje a Marte :

Esta es una trama de chuleta de cerdo. Las líneas de contorno azules muestran la energía (aquí en términos de C3) necesaria para transferir de la Tierra a Marte en 2005. (Nota: dado que estamos interesados ​​en ir de la Tierra a Marte (o de regreso), tiene más sentido usar C3 en lugar de delta V.) Tenga en cuenta que las órbitas de transferencia son marcadamente no Hohmann. Una transferencia Hohmann tardaría unos 275 días. En cambio, las transferencias óptimas tardan unos 200 días (vía corta) y 400 días (vía larga).

Estoy haciendo un proyecto escolar que requiere que calcule las matemáticas detrás de una transferencia orbital a Marte para una misión humana.

No mencionaste para qué nivel de escuela es este proyecto. Si lo anterior te supera, puedes ignorar todo eso y usar la ficción de las transferencias de Hohmann. Si no está sobre su cabeza, esto es exactamente lo que se hace para calcular las órbitas de transferencia a Marte en el JPL.

La mejor trayectoria depende de muchos factores, los más importantes son: cuándo quiere llegar allí, cuánto tiempo quiere quedarse y si desea optimizar el tiempo o el gasto de ∆v.

La optimización del tiempo reduce la exposición a la radiación y los requisitos de consumibles para las misiones tripuladas; optimizar para ∆v le brinda más carga útil para un tamaño determinado de lanzador.

La NASA tiene un navegador de trayectoria dulce que le permite explorar sus opciones con restricciones dadas.

Según tengo entendido, lo mejor es una trayectoria de retorno libre de 2 años, con ventanas de lanzamiento bastante cercanas al momento de una transferencia de Hohmann. Implica una velocidad de salida de 5,08 km/s, 2 años para regresar a la Tierra y 180 días para transitar a Marte. La fuente es "El caso de Marte".

Ya hay buenas respuestas aquí, así que solo estoy agregando contexto / información sobre las parcelas de chuleta de cerdo y la diferencia entre el "camino corto" y el "camino largo" cuando se trata del problema de Lambert.

El gráfico de arriba es de la ventana de lanzamiento de 2020 desde la Tierra a Marte. Tenga en cuenta que esta es una gráfica delta V, no una gráfica infinita C3 y V, que divide las 2 quemas en una transferencia de Lambert (la quema inicial para dejar la Tierra y la quema final para llegar a Marte).

Un poco de contexto para el diagrama de la chuleta de cerdo: el eje x representa los tiempos de salida de la Tierra, a partir de alguna época (en este caso, el 1 de julio de 2020), y el eje y representa los tiempos de llegada a Marte, a partir de alguna época (en este caso, el 1 de noviembre de 2020) . Los contornos rosados ​​en el gráfico muestran trayectorias con igual delta V. Los contornos azules muestran tiempos de viaje (en días) para trayectorias a lo largo de cada línea. Luego podemos echar un vistazo a lo que usó la nave espacial Mars 2020.

Marte 2020 partió de la Tierra 2020 el 30 de julio, que en esta gráfica estaría en x = 30. Llegó al cráter Jezero en Marte el 18 de febrero de 2021, que es y = 110 en esta gráfica. Este punto está dentro del contorno delta V = 6 km/s, que es el más bajo de toda esta parcela. Es por eso que los diagramas de chuleta de cerdo son una buena herramienta para calcular estimaciones de primer orden para misiones interplanetarias (en este caso estamos ignorando los sobrevuelos).

Algo de contexto sobre el camino corto y el camino largo. Como se explicó en otra respuesta, el camino corto es cuando el cambio en la anomalía verdadera de la trayectoria es inferior a 180 grados. En una parcela de chuleta de cerdo, estas trayectorias son las que están debajo de la brecha en la parcela. Aquí hay una gráfica en 3D de cómo se vería (esta es aproximadamente la trayectoria que voló Marte 2020):

El camino largo es una trayectoria donde el cambio en la anomalía verdadera cambia en más de 180 grados. Estas trayectorias estarían por encima de la brecha en el diagrama de chuleta de cerdo, y se verían así:

En la práctica, realmente no tendría sentido usar el camino largo si el delta V fuera el mismo para el camino corto, ya que agrega más tiempo de viaje. A menos que tal vez hubiera un asteroide o algo de interés a lo largo de la trayectoria que haría que fuera una buena idea.