¿Qué dice el teorema de la divergencia de Gauss sobre la compresión de un cuerpo bajo la autogravitación?

Debajo de esta pregunta hay un comentario que captó mi interés:

Primero, hay un concepto erróneo. Comprimir un cuerpo no aumenta la fuerza de gravedad sobre las masas exteriores. Ese es el famoso teorema de la divergencia de Gauss.

Entiendo que uno puede usar el teorema de la divergencia para abordar (derivar) el teorema del caparazón : una consecuencia de rápido es que una partícula dentro de un caparazón esféricamente simétrico no experimenta fuerza gravitatoria neta del caparazón, pero esto parece diferente ya que se refiere a cambios en promedio Densidad de un cuerpo y fuerzas gravitatorias sobre las masas exteriores .

Así que me gustaría entender mejor: ¿Qué dice el teorema de la divergencia de Gauss sobre la compresión de un cuerpo bajo la autogravitación?

Como referencia, esta respuesta cubre muy bien el teorema del caparazón .

Respuestas (1)

Teorema de la divergencia de Gauss aplicado al campo gravitatorio gramo → es eso

∮ gramo → ⋅ d A → = ∫ ∇ ⋅ gramo →   d V ,
donde el lado izquierdo es el flujo del campo gravitatorio dentro/fuera de una superficie cerrada y el lado derecho es la integral de la divergencia de ese campo sobre el volumen encerrado por la superficie.

La definición fundamental de cómo la masa produce un campo gravitatorio es que

∇ ⋅ gramo → = − 4 π GRAMO ρ ,
donde ρ es la densidad de masa.

Si estás en un punto fuera de la masa, entonces el lado derecho del teorema de la divergencia se convierte en una constante .

∮ gramo → ⋅ d A → = − 4 π GRAMO ∫ ρ   d V = − 4 π GRAMO METRO .
Por lo tanto, el lado izquierdo también es constante cuando se calcula sobre cualquier superficie que encierra toda la masa.

Si permite que la masa se contraiga de forma esféricamente simétrica , entonces como el campo gravitacional en el lado izquierdo siempre está en la dirección radial, entonces gramo → debe permanecer igual en cualquier posición en el espacio fuera de la distribución de masa.

¿Quiere decir que en cualquier posición fija (dada) en el exterior, g permanecerá igual sin importar cuán comprimido esté? g fuera de cualquier distribución esférica se puede calcular reemplazándolo con una masa puntual en el centro. ¿Derecho?
@uhoh Sí, ese es el teorema del caparazón.
De acuerdo, la gravedad en la superficie del cuerpo, por supuesto, definitivamente se hará más fuerte a medida que se comprime. Gran. Pensé que había algo extraño en el comentario vinculado a mi pregunta. No podía entender cómo se aplicaba allí el teorema de la divergencia. ¡Gracias!
¿Qué dice el teorema de la divergencia de Gauss sobre la compresión de un cuerpo bajo la autogravitación?
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