¿Qué demostró que el sentido convencional estaba equivocado?

Primero, no hay nada malo con nuestras convenciones de polaridad de carga. Predicen fenómenos eléctricos con tanta precisión como lo hubiera hecho la convención opuesta.

¿Tendríamos algún problema si desde el comienzo de su descubrimiento les denomináramos partículas positivas y negativas a los protones?

Podríamos predecir el comportamiento de los fenómenos eléctricos igualmente bien con cualquiera de las dos convenciones. Con una convención de electrones positivos, todavía tendríamos que lidiar con portadores negativos cuando estudiemos la transferencia iónica (baterías, por ejemplo) o la transferencia de huecos (en semiconductores).

Pero no se trataba de definir a los electrones como negativos desde su descubrimiento, porque la convención de carga negativa y positiva ya estaba establecida antes de que se descubrieran el electrón y el protón.

¿Por qué decimos que los electrones tienen carga negativa? ¿Es una cuestión de convención o hay algún conocimiento más profundo que implica que sean negativos?

Es enteramente una cuestión de convención. Esta convención se estableció antes de que se descubriera el electrón. Se sabía desde los antiguos griegos que frotar ciertas sustancias (pelo, ámbar, etc) podía producir un estado en el que se atraen o se repelen entre sí. Según Wikipedia, fue CF DuFay quien propuso, en 1733, que la electricidad tiene dos tipos; y Faraday quien propuso, en 1839, que estos dos tipos son polaridades opuestas de un solo fenómeno.

En cuanto a cuando descubrimos que los electrones tienen carga negativa, según Wikipedia ,

El físico alemán Johann Wilhelm Hittorf estudió la conductividad eléctrica en gases enrarecidos: en 1869 descubrió un resplandor emitido por el cátodo que aumentaba de tamaño con la disminución de la presión del gas. En 1876, el físico alemán Eugen Goldstein demostró que los rayos de este resplandor proyectan una sombra, y los denominó rayos catódicos. Durante la década de 1870, el químico y físico inglés Sir William Crookes desarrolló el primer tubo de rayos catódicos que tenía un alto vacío en su interior. Luego demostró que los rayos de luminiscencia que aparecían dentro del tubo llevaban energía y se movían del cátodo al ánodo. Además, al aplicar un campo magnético, pudo desviar los rayos, demostrando así que el haz se comportaba como si tuviera carga negativa.

Entonces, la carga negativa del electrón fue determinada por Crookes en la década de 1870, unos 30 años después de que Faraday estableciera el principio de las cargas negativas y positivas.

E incluso después de que se supo que la carga del electrón era negativa, no fue hasta 1911 que Rutherford publicó su modelo nuclear del átomo, estableciendo el papel de los electrones en la estructura atómica. No puedo encontrar una fecha, pero presumiblemente no fue hasta después de esto que supimos que el electrón era el portador de carga de las corrientes en los metales.