Prueba de que una lente esférica es estigmática

Las lentes esféricas habituales son sólo aproximadamente estigmáticas, es decir, la imagen de un punto fuente es en sí misma un punto. Necesita una aproximación paraxial para garantizar el estigmatismo aproximado y evitar la aberración esférica .

Puede verlo jugando con solo una interfaz plana entre dos medios transparentes diferentes, como la superficie del agua. Usando la aproximación paraxial, puedes probar la relación

$$\frac{n}{HA} = \frac{n'}{HA'}$$ dónde $n$es el índice de refracción del medio donde el objeto $A$mentiras (por ejemplo un pez, entonces $n=1.33$), $H$es la proyección ortogonal de $A$en la interfaz, $A'$es la imagen y $n'$es el índice de refracción del medio donde el observador piensa $A'$es (por ejemplo el aire tan $n'=1$). Si el pescado es $40$cm bajo el agua, solo verás su imagen $30$cm de distancia de la interfaz (es por eso que es difícil atrapar un pez en un acuario en el primer intento).

Como necesita interfaces esféricas para construir su lente y ni siquiera funciona con interfaces planas (que son un caso particular de las interfaces esféricas), no puede ser cierto para ningún tipo de lente esférica.

Aquí hay dos animaciones que puede probar para ver cómo funciona el estigmatismo:

• uno con interfaz de avión
• y otro con espejo esférico

Según un artículo del Grupo de Investigación de Ciencias Optométricas titulado Sistemas ópticos estigmáticos :

"Parecería haber poco desacuerdo sobre lo que constituye un sistema astigmático en el caso de una lente delgada: el cilindro no es cero. Una lente delgada esférica es estigmática o no astigmática. El problema es menos claro en el caso de un sistema grueso . Por ejemplo, ¿un ojo es estigmático simplemente porque su refracción es estigmática (esférica)?"

De acuerdo con la ley de Snell, (de Wikipedia) el ángulo de incidencia más grande posible que da como resultado un rayo refractado se llama ángulo crítico . Cuando algo excede este ángulo, no hay punto de refracción para el objeto en la imagen, lo que significa que el resultado es astigmático.

También según los sistemas ópticos estigmáticos :

"Un ojo puede ser astigmático a pesar de tener una refracción estigmática".

En realidad, hay un modo de imagen en el que la lente esférica es una lente perfecta : converge todos los rayos, sin importar qué tan lejos estén del paraxial, en un solo punto focal. Este es el caso de la esfera aplanática , y es de suma importancia en el diseño de objetivos microscópicos.

Estamos hablando de esferas homogéneas e isotrópicas aquí. Hay otras lentes esféricas perfectas que tienen un índice de refracción no uniforme. Esta es la clase de lentes Luneburg , de la cual Maxwell Fish Eye es un ejemplo. Esta clase de lentes hace que los puntos de ciertas superficies esféricas concéntricas sean perfectamente conjugados, es decir, los rayos de un punto de una superficie convergerán precisamente en un punto de la otra.

Volviendo a la esfera aplanática, esbozada a continuación:

Aquí tenemos una esfera de índice de refracción.$n_2$sumergido en un medio de índice$n_1$. Consideramos cualquier punto$P$en la esfera concéntrica con la lente pero con un radio$n_1/n_2$veces la de la lente esférica. Este punto tiene entonces una imagen virtual perfecta en$Q$, sin aberración alguna, es decir, todos los rayos que salen a la izquierda del dispositivo convergen precisamente en el punto$Q$si se extiende.

Este principio se aplica en objetivos de microscopio de alta apertura numérica, inmersión o inmersión en aceite, como se muestra en la siguiente figura tomada de Born and Wolf, "Principles of Optics".

La superficie del objeto es la esfera dentro del fluido de comparación de índices con la misma relación con la lente esférica en el extremo del microscopio, como hemos discutido anteriormente. El punto$P$en esta esfera tiene una imagen virtual perfecta en$P_1$. Además, la apertura numérica de la imagen virtual se reduce en un factor de$n_2^2/n_1^2$. La superficie interna de la lente de menisco es concéntrica con la esfera de la imagen a través de$P_1$; en consecuencia, los rayos de cualquier fuente puntual sobre la primera superficie de formación de imágenes no se desvían por la superficie interna del menisco. Así que ahora podemos jugar de nuevo el truco de la esfera aplanática con la superficie exterior del menisco, y obtenemos una imagen perfecta de$P$en$P_2$.

Repetición de este truco, cada vez bajando la apertura numérica por un factor de$n_{i+1}^2/n_i^2$trae rápidamente el campo desde cualquier punto de la superficie del objeto cerca de la colimación, y con cero aberración. Ahora es muy sencillo hacer que la lente colime con una aberración extremadamente baja para cualquier punto de la superficie del objeto esférico dentro del medio de coincidencia de índice.