Propagación de la incertidumbre a través de un promedio ponderado dos veces

Question

Propagación de la incertidumbre a través de un promedio ponderado dos veces

Física
espectroscopia
análisis de errores
Radiación termal

chkrs888.

Estoy recopilando la intensidad de la radiación en función de la longitud de onda. Quiero tomar estos datos y promediarlos para poder tener una intensidad promedio para una banda espectral. En mi promedio, quiero ponderar por dos factores: la incertidumbre y otro factor dictado por la curva de Planck, ya que me importan más los valores que corresponden a alta intensidad.

También quiero estimar la incertidumbre asociada con este promedio ponderado dos veces, pero no estoy seguro de cómo hacerlo.

He visto algunas publicaciones aquí, por ejemplo this . Sin embargo, no sé si el error de este promedio se propagará como se describe allí o si la segunda ponderación complica las cosas.

Medusa superrápida

Oye, ¿puedes aclarar lo que quieres decir con: ¿Cuál es la incertidumbre? ¿Y cuál es el factor decidido por la curva de Planck?

chkrs888.

Cuál es la incertidumbre: cada punto de datos espectrales tiene una incertidumbre/error asociado, según el equipo que estemos usando. Conozco esta incertidumbre, pero quiero saber cómo se propaga esa incertidumbre a través del promedio ponderado. es decir, tendré un valor para el promedio ponderado, pero ¿cuál es su error? Factor de la curva de Planck: es probable que sea un área integrada asociada con cada punto de datos espectrales (potencialmente agregados en bandas), dividida por el área integrada total sobre la que estoy midiendo. es decir, integraré la curva de Planck para obtener estos factores. ¿Eso aclara?

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Propagación de la incertidumbre a través de un promedio ponderado dos veces

Oye, ¿puedes aclarar lo que quieres decir con: ¿Cuál es la incertidumbre? ¿Y cuál es el factor decidido por la curva de Planck?
Cuál es la incertidumbre: cada punto de datos espectrales tiene una incertidumbre/error asociado, según el equipo que estemos usando. Conozco esta incertidumbre, pero quiero saber cómo se propaga esa incertidumbre a través del promedio ponderado. es decir, tendré un valor para el promedio ponderado, pero ¿cuál es su error? Factor de la curva de Planck: es probable que sea un área integrada asociada con cada punto de datos espectrales (potencialmente agregados en bandas), dividida por el área integrada total sobre la que estoy midiendo. es decir, integraré la curva de Planck para obtener estos factores. ¿Eso aclara?

Semoi · Answer 1

Si tiene una función suave, los puntos de datos no son (!) estadísticamente independientes. En cambio, los puntos de datos vecinos son similares y, por lo tanto, están correlacionados. Esto complica las cosas, matemáticamente. Por lo tanto, una forma de abordar este problema podría ser la siguiente:

Primero calcule la longitud de correlación del conjunto de datos. Suponga que encuentra que la longitud de la correlación es $r$ .
Ahora, solo considere cada $r^{th}$ punto de datos. Por lo tanto, use la fórmula simple $\begin{aligned} y & = \frac{\sum_{i = 1}^{norte} w_{i} X_{i}}{\sum_{i = 1}^{norte} w_{i}} = \frac{1}{norte \bar{w}} \sum_{i = 1}^{norte} w_{i} X_{i} dónde w_{i} son los pesos \\ \Rightarrow σ_{y}^{2} & \approx \sum_{i = 1}^{norte} {(\frac{\partial y}{\partial X_{i}})}^{2} σ_{X_{i}}^{2} = \frac{1}{(norte \bar{w})^{2}} \sum_{i = 1}^{norte} w_{i}^{2} σ_{X_{i}}^{2} \end{aligned}$ $\begin{align} y &= \frac{\sum_{i=1}^N w_i x_{i}}{\sum_{i=1}^N w_i} = \frac{1}{N \bar{w}}\sum_{i=1}^N w_i x_{i} ~~~\textrm{where $w_i$ are the weights} \\ \Rightarrow \sigma_y^2 &\approx \sum_{i=1}^N \left( \frac{\partial y}{\partial x_{i}} \right)^2 \sigma_{x_{i}}^2 = \frac{1}{(N \bar{w})^2} \sum_{i=1}^N w_i^2 \sigma_{x_{i}}^2 \end{align}$ Detalles matemáticos : implícitamente reemplacé el conjunto de datos $\{x_i\}$ por $x_{1+i\cdot r}$ . Por lo tanto, tomé solo cada $r^{th}$ punto de datos.

La reducción descrita del conjunto de datos no es satisfactoria, porque no utilizamos la información completa contenida en el conjunto de datos. Por lo tanto, podría estar interesado en usar la fórmula matemáticamente más adecuada

σ_{y}^{2} \approx \sum_{i = 1}^{norte} {(\frac{\partial y}{\partial X_{i}})}^{2} σ_{X_{i}}^{2} + 2 \sum_{i = 1}^{norte - 1} \sum_{j = i + 1}^{norte} \frac{\partial y}{\partial X_{i}} \frac{\partial y}{\partial X_{j}} C o v [X_{i}, X_{j}]

$\sigma_y^2 \approx \sum_{i=1}^N \left( \frac{\partial y}{\partial x_{i}} \right)^2 \sigma_{x_{i}}^2 + 2 \sum_{i = 1}^{N-1} \sum_{j = i+1}^{N} \frac{\partial y}{\partial x_{i}} \frac{\partial y}{\partial x_{j}} Cov[x_i, x_j]$ Aquí incluimos el segundo término de la expansión de Taylor, donde

C o v [x_{i}, x_{j}]

$Cov[x_i, x_j]$ denota la covarianza entre

x_{i}

$x_i$ y

x_{j}

$x_j$ .

Gracias por la respuesta. Me sorprende que no aparezcan los pesos en ninguna ecuación por incertidumbre. Habría esperado, por ejemplo, que si ponderabas más un punto en un conjunto de datos, entonces su error contribuiría más a la incertidumbre del promedio.
Tal vez te perdiste mi fórmula. Lo escribí más explícito.

Propagación de la incertidumbre a través de un promedio ponderado dos veces

chkrs888.

Medusa superrápida

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Semoi

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Semoi

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