Propagación de haz gaussiano con matriz ABCD a través de una lente grin

La óptica difractiva en la aproximación de Fresnel es exactamente igual a la mecánica cuántica de una partícula con$\hbar$reemplazada por la frecuencia angular inversa$\omega^{-1}$de la luz y el tiempo reemplazado por espesor a lo largo del eje óptico.

Sea la coordenada en el plano de referencia en el lado del objeto del sistema óptico$x$. Al tratar el campo eléctrico de la luz en este plano como un campo escalar, la amplitud es$\langle x|\psi\rangle$. Para un haz gaussiano en el eje,

$$\begin{equation} \langle x|\psi\rangle=\frac{\exp{\left(\frac{i}{2}\frac{x^{2}}{(q/n)}\right)}}{i(q/n)} \end{equation}$$ dónde $n$es el índice de refracción, $q=t-id_{0}$es el parámetro del haz complejo. $t$es el espesor desde la cintura de la viga y $d_{0}$es el parámetro del haz confocal. Esta fórmula utiliza unidades naturales en las que la velocidad de la luz $c=1$y $\omega^{-1}=1$para evitar escribir los factores de conversión desordenados.

La pregunta necesita el haz de entrada desplazado por la distancia.$a$(digamos) desde el eje óptico. La amplitud de entrada es ahora,

$$\begin{equation} \langle x|\psi\rangle=\frac{\exp{\left(\frac{i}{2}\frac{(x-a)^{2}}{(q/n)}\right)}}{i(q/n)} \end{equation}$$

Sea la coordenada en el plano de referencia en el lado de la imagen del sistema óptico$x'$. Para un sistema óptico sin pérdidas, solo necesitamos el operador unitario$\hat{U}$que asigna el campo de entrada$|\psi\rangle$al campo de salida$\hat{U}|\psi\rangle$.Este operador está determinado por la matriz de rayos del sistema óptico. Utilizo la convención de matriz de rayos en el libro "The Ray and Wave Theory of Lenses" de A. Walther.

$$\begin{equation} \left[ \begin{array}{c} p' \\ x' \end{array} \right]= \left[ \begin{array}{cc} B & -A \\ -D & C \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} p \\ x \end{array} \right] \ . \end{equation}$$ las variables $p.p'$son las variables de impulso conjugadas canónicamente a las coordenadas de posición $x,x'$. Volviendo a las unidades SI por un momento, el momento conjugado canónicamente es, $$\begin{equation} p=\frac{n}{c}\frac{dx}{ds}=\frac{n}{c}\sin{\theta} \end{equation}$$ dónde $s$es la longitud del arco a lo largo de un rayo. En unidades naturales en $c=1$la variable impulso es $p=n\sin{\theta}$y así las entradas en la matriz de rayos tienen su significado habitual. La fórmula (en unidades naturales) para el operador unitario para un sistema óptico general en base a la posición es, $$\begin{equation} \langle x'|\hat{U}|x\rangle=\frac{1}{\sqrt{i^{-1}D}}\exp{\left(-(i/2)(x'BD^{-1}x'-2x'D^{-1}x+xD^{-1}Cx)\right)} \end{equation}$$ El campo de salida en base a la posición es ahora, $$\begin{equation} \langle x'|\psi'\rangle=\langle x'|\hat{U}|\psi\rangle=\int \frac{dx}{\sqrt{2\pi}}\langle x'|\hat{U}|x\rangle \langle x|\psi\rangle \end{equation}$$ y he usado la medida $dx/\sqrt{2\pi}$para mantener las transformadas de Fourier unitarias.

Todo esto todavía funciona en$m$-dimensiones donde$A,B,C,D$los parámetros se convierten en matrices. El uso de los siguientes$m$-integral dimensional,

$$\begin{equation} \int d^{m}x \exp{(-x^{T}Cx+b^{T}x)}=\frac{\pi^{m/2}}{\sqrt{\det{C}}}\exp{\left(\frac{1}{4}b^{T}C^{-1}b\right)} \end{equation}$$ significa que cualquier problema relacionado con haces gaussianos que se propagan a través de sistemas ópticos descritos por matrices de rayos puede resolverse analíticamente. Existen fórmulas análogas para el operador unitario en base a cantidad de movimiento y en base mixta de posición y cantidad de movimiento en términos de los parámetros de la matriz de rayos. A menudo es útil usar la base de posición y la base de impulso para simplificar el álgebra.

Primero aprendí estas cosas de "Técnicas simplécticas en física" de Guillemin y Sternberg. Desearía que los cursos de física de pregrado explicaran a los estudiantes que la mecánica cuántica no es "rara" porque es lo mismo que la óptica difractiva en la aproximación de Fresnel y nadie dice que la óptica difractiva es "rara".