¿Pregunta sobre la interferencia de ondas?

En realidad, tienes toda la razón. La mayoría de los tratamientos de la doble rendija tienen algún tipo de simplificación. La idea habitual es que aproximamos cada rendija de la doble rendija para que sea una fuente puntual, por lo que lo que realmente estamos analizando es el caso de "dos fuentes puntuales coherentes".

Esta aproximación puede justificarse suponiendo que sus rendijas son realmente pequeñas en comparación con la distancia entre ellas y las longitudes de onda. Cuando cada rendija es pequeña, sale "menos cantidad de ondas" (hay infinitas, pero espero que mi punto todavía tenga sentido), y si sale menos cantidad de ondas, hay menos de ellas para estar fuera fase.

Cuando haces tus aberturas cada vez más pequeñas, las dos ondas más desfasadas están cada vez más cerca, y están cada vez más en fase.

De hecho, en el caso de la rendija simple, cuando hace que la abertura de la rendija sea cada vez más pequeña, la barra central se vuelve más ancha. En algún momento, se vuelve tan ancho que podría aproximarse a la rendija como una fuente puntual.

Por supuesto, en realidad puede hacer el tratamiento completo tanto de la rendija simple como de la doble rendija en detalle (suponiendo aproximaciones de campo lejano). De hecho, puede obtener la función completa que describe el patrón. La derivación se complica, pero la idea es que salgan infinitos frentes de onda y desee "sumar" los efectos de cada frente de onda, cada uno de los cuales es infinitesimalmente pequeño. Resulta que esto requerirá una integral para resumirlos (de la misma manera que la gente habla de integrales que "suman" un área infinitesimal).

Cuando haces esto, la intensidad de la onda en la pantalla es

$$I(\theta) = I_{0}\frac{\sin^{2}(\tfrac{\pi a\sin\theta}{\lambda})}{(\tfrac{\pi a\sin\theta}{\lambda})^{2}}.$$ El patrón de doble rendija (ancho de rendija $a$, distancia entre rendijas $d$) resulta tener una función sorprendentemente similar y el patrón está dado aproximadamente por $$I(\theta) = I_{0}\frac{\sin^{2}(\tfrac{\pi a\sin\theta}{\lambda})}{(\tfrac{\pi a\sin\theta}{\lambda})^{2}} \cos^{2}(\tfrac{\pi d\sin\theta}{\lambda}).$$ cuando tomamos $a\ll\lambda$, tenemos $\pi a\sin\theta /\lambda \approx 0$por lo que entonces $\left(\sin^{2}(\tfrac{\pi a\sin\theta}{\lambda})\right) / (\tfrac{\pi a\sin\theta}{\lambda})^{2} \approx 1$. Entonces la ecuación anterior se convierte en $$I(\theta)\approx I_{0}\cos^{2}(\tfrac{\pi d\sin\theta}{\lambda})$$ y puedes ver que los máximos ocurren cuando $\tfrac{\pi d\sin\theta}{\lambda} = n\pi$o mejor $d\sin\theta = n\lambda$. Pero al final del día, esto no es más que una simplificación/aproximación.

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Proporcionaré las derivaciones para las fórmulas a continuación. En el último capítulo de Vibration and Waves de AP French se proporciona una discusión sobre esto y las ecuaciones .

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Fuentes de dos puntos

Antes de responder lo que sucede con infinitos frentes de onda, tendría sentido preguntar qué sucede si tenemos dos fuentes puntuales.

Dado un punto en la pantalla de adelante, ¿cuál es el camino directo desde una de las fuentes hasta ese punto? Dado que la pantalla está muy lejos, aproximamos estos dos caminos para que sean paralelos, como lo indican las dos flechas en la imagen. La única diferencia entre estos dos caminos aquí es que uno de ellos es más largo por$d\sin\theta$.

Estamos tratando con ondas 2D donde se extienden en un círculo desde cada fuente, pero a lo largo de cada línea tenemos esencialmente una onda 1D. En la imagen de arriba, si$x$es la distancia a lo largo de una de las flechas, la onda viene dada por$A\sin(kx-\omega t)$. Si la flecha derecha tiene distancia total$x=D$, la flecha izquierda tiene la distancia total$x=D+d\sin\theta$(lo único que importa es que si dibujas un triángulo realmente largo, los dos lados más largos diferirán en aproximadamente$d\sin\theta$).

En la pantalla, la onda debida a la fuente derecha es$A\sin\big(kD-\omega t\big)$. La onda debida a la fuente izquierda es$A\sin\big( k(D+d\sin\theta)-\omega t \big)$. Por lo tanto, nuestra onda total es

$$A\sin\big(kD-\omega t\big) + A\sin\big( k(D+d\sin\theta)-\omega t \big).$$

Para limpiar esto un poco, dejemos$\phi = kD-\omega t$y deja$\Delta\phi = kd\sin\theta$. Esto da la expresión

$$A\sin(\phi)+A\sin(\phi+\Delta\phi).$$

¡Esta suma de senos es en realidad solo una onda sinusoidal disfrazada! Tenemos que usar algunas identidades trigonométricas no triviales. Este se encuentra en wikipedia en la sección llamada "Combinaciones lineales" . Entonces

$$A\sin(\phi)+A\sin(\phi+\Delta\phi) = \underbrace{\sqrt{A^{2}+A^{2}+2A^{2}\cos(\Delta\phi)}}_{\text{Amplitude}}\sin(\cdots).$$

La amplitud (usando la fórmula del medio ángulo) se da como

$$\begin{align*} \sqrt{2A^{2}+2A^{2}\cos(\Delta\phi)} &= A\sqrt{2}\sqrt{1+\cos(\Delta\phi)} \\ &= 2A\sqrt{ \frac{1+\cos(\Delta\phi)}{2} } \\ &= 2A\cos(\tfrac{\Delta\phi}{2}). \end{align*}$$

Ooookay. Una cosa más. Si retrocedemos, debemos aclarar que$k$se llama número de onda. Está relacionado con la longitud de onda por$k = 2\pi/\lambda$. Con esto sabemos$\Delta\phi = kd\sin\theta = 2\pi d\sin\theta/\lambda$. Por lo tanto, la onda es$2A\cos\left(\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda}\right)$. La intensidad viene dada por el cuadrado de la amplitud, por lo que

$$I(\theta) = 4A^{2}\cos^{2}\left(\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda}\right).$$

Patrón de una sola rendija

Lo anterior se proporcionó solo para que tengamos un enfoque general para analizar estos problemas, de modo que pueda atacar el problema donde tiene tres fuentes puntuales o$N$muchos, y esto será útil aquí.

Tenemos una sola rendija de ancho$a$. La estrategia es dividir la ola en$N$olas en el espíritu de Hyugens. Las fuentes de ondas están igualmente espaciadas por$\Delta s = a/N$. Cada fuente de onda contribuye$1/N$de la onda original.

Esto reflejará el razonamiento empleado para el caso de fuentes de dos puntos. Dejar$D$Sea la distancia entre el centro exacto de nuestra rendija al objetivo. La distancia de cada punto al objetivo es entonces$x=D + s_{n}\sin\theta$dónde$s_{n}$es la posición de la fuente relativa al centro (si la fuente está más a la derecha,$s_{n}$será mayor).

La onda debida a cada fuente es ahora$(A/N)\cos\big(k(D + s_{n}\sin\theta) - \omega t \big)$. Como ya apuntábamos$\Delta s = a/N$, tenemos$\Delta s / a = 1/N$. Resumiendo todas las olas, tenemos

$$\sum_{n} A\cos\big(k(D+s_{n}\sin\theta) - \omega t \big)\frac{\Delta s}{a}.$$

Ahora vamos a usar un truco. El truco está en aprovechar la identidad de Euler.$e^{iu} = \cos(u)+i\sin(u)$. Esto parecerá barato, pero simplemente reemplazaremos todos los$\cos u$términos por$e^{iu}$, y entenderemos que estamos tratando solo con la parte real cuando sea necesario.

La clave de esto es que la "parte real" es aditiva, por lo que$\text{Re}\; (e^{iu}+e^{iu'}) = \text{Re}\; (e^{iu}) + \text{Re}\; (e^{iu'})$(esto no es tan simple si estamos multiplicando números complejos). Esto solo funciona porque estamos agregando cosas. Además, lo que estamos haciendo respeta la integración, así que$\int_{a}^{b} \text{Re}\;e^{iu}\;du = \text{Re}\;\int_{a}^{b}e^{iu}\;du$. La magia de este truco es que hace que toda la trigonometría sea increíblemente fácil.

Vamos a volver a la suma anterior y escribir

$$\sum_{n} Ae^{i\left[ k(D+s_{n}\sin\theta)-\omega t\right]} \frac{\Delta s}{a}.$$

El principio de Hyugens trata con infinitos frentes de onda. Esto significa que estamos destinados a enviar$N\rightarrow \infty$. La suma anterior se transforma en

$$\begin{align*} \int_{-a/2}^{a/2} \frac{A}{a}e^{iks \sin\theta} e^{ikD-i\omega t} \;ds &= \frac{Ae^{ikD-i\omega t}}{a}\left( \frac{e^{iks\sin\theta}}{ik\sin\theta} \right) \Big|_{s=-a/2}^{s=a/2} \\[1em] &= \frac{Ae^{ikD-i\omega t}}{aik\sin\theta}\left( e^{ika\sin\theta/2}-e^{-ika\sin\theta/2} \right) \\[1em] &= \frac{Ae^{ikD-i\omega t}}{aik\sin\theta}\left(2i\sin\left(\frac{ka\sin\theta}{2}\right)\right)\\[1em] &= A\frac{\sin\left( \tfrac{ka\sin\theta}{2} \right)}{\left(\tfrac{ka\sin\theta}{2}\right) }e^{ikD-i\omega t} \\[1em] &= \underbrace{A\frac{\sin\left( \tfrac{\pi a\sin\theta}{\lambda} \right)}{\left( \tfrac{\pi a\sin\theta}{\lambda} \right)}}_{\text{Amplitude}}e^{ikD-i\omega t}. \end{align*}$$

Finalmente, la intensidad es el cuadrado de la amplitud por lo que

$$I(\theta) = A^{2}\frac{\sin^{2}\left( \tfrac{\pi a\sin\theta}{\lambda} \right)}{\left(\tfrac{\pi a\sin\theta}{\lambda} \right)^{2}}$$

Patrón de doble rendija

Cada rendija tiene ancho$a$. La distancia entre el centro de cada rendija es$d$.

Al igual que antes, dividimos la ola en cada abertura en$N$ondas, respectivamente. Para cada apertura,$\Delta s = a / N$. como enviamos$N\rightarrow \infty$para ambas rendijas, obtenemos las integrales

$$\int_{-\frac{d}{2}-\frac{a}{2}}^{-\frac{d}{2}+\frac{a}{2}}\frac{A}{a}e^{iks\sin\theta}e^{ikD-i\omega t}\;ds + \int_{\frac{d}{2}-\frac{a}{2}}^{\frac{d}{2}+\frac{a}{2}}\frac{A}{a}e^{iks\sin\theta}e^{ikD-i\omega t}\;ds.$$ Necesitamos evaluar las integrales y hacer serias acrobacias trigonométricas. Evaluar y simplificar algunas cosas da $$\frac{Ae^{ikD-i\omega t}}{ak\sin\theta/2}\left[ \sin\left(k(\tfrac{d}{2}+\tfrac{a}{2})\sin\theta\right)-\sin\left(k(\tfrac{d}{2}-\tfrac{a}{2})\sin\theta\right) \right].$$ Podemos abrir esta expresión aplicando fórmulas de suma de senos y obteniendo la cancelación. Esto produce $$\frac{Ae^{ikD-i\omega t}}{ak\sin\theta/2}\cdot 2\cos\left(k\left(\tfrac{d}{2}\right)\sin\theta\right)\sin\left(k\left(\tfrac{a}{2}\right)\sin\theta\right).$$ Como antes, el número de onda es $k = 2\pi/\lambda$, entonces ahora la expresión igual a $$\frac{Ae^{ikD-i\omega t}}{(\tfrac{\pi a\sin\theta}{\lambda})} \cdot 2\cos\left(\tfrac{\pi d\sin\theta}{\lambda}\right)\sin\left(\tfrac{\pi a\sin\theta}{\lambda}\right)$$ y esto es $$\underbrace{2A\frac{\sin\left(\tfrac{\pi a\sin\theta}{\lambda}\right)}{\left(\tfrac{\pi a\sin\theta}{\lambda}\right)}\cos\left(\tfrac{\pi d\sin\theta}{\lambda}\right)}_{\text{Amplitude}}e^{ikD-i\omega t}.$$ Al elevar al cuadrado la amplitud, obtenemos $$I(\theta) = 4A^{2}\frac{\sin^{2}\left(\tfrac{\pi a\sin\theta}{\lambda}\right)}{\left(\tfrac{\pi a\sin\theta}{\lambda}\right)^{2}}\cos^{2}\left(\tfrac{\pi d\sin\theta}{\lambda}\right).$$