¿Por qué usamos los polinomios de Chebyshev para predecir las posiciones de los cuerpos del sistema solar?

He visto información sobre cómo usar los coeficientes de Chebyshev que publica JPL, pero nada que explique por qué . ¿Por qué no se utiliza un modelo matemático más simple?

También me sorprende que el JPL use un modelo numérico en lugar de hacer una simulación física de n cuerpos del Sistema Solar.

¡Bienvenidos al Espacio! resultados de búsqueda de @DavidHammen Chebyshev Pero me confunde tu última oración, porque el JPL usa un modelo numérico para hacer una simulación de física de n cuerpos del Sistema Solar. No hay "en lugar de" aquí.
¡Gracias! Re: mi última oración, tenía la impresión de que JPL generó las efemérides al examinar datos históricos observados y extrapolar, en lugar de usar las masas conocidas de los cuerpos y aplicar las leyes de Newton. Gracias por corregirme.
Consulte en.wikipedia.org/wiki/… para obtener un buen resumen de cómo JPL produce sus efemérides. Brevemente, integran las ecuaciones de movimiento, con correcciones relativistas. Pero eso requiere buenos datos para las masas corporales y las ubicaciones y velocidades iniciales. Por lo tanto, las efemérides generadas se verifican con datos de observación terrestres y espaciales. Los coeficientes de Chebyshev son simplemente el método utilizado para almacenar los datos de efemérides generados para que puedan interpolarse con precisión según sea necesario.
Los coeficientes de Chebyshev son la mejor manera de almacenar efemérides e integrar posiciones de cuerpos astronómicos (con polinomio de Chebyshev) con gran precisión.
@prideout Oh, ya veo lo que quieres decir. Lo que se hace es un procedimiento de ajuste; Se permite que varíen muchos parámetros (masas y términos gravitacionales de orden superior y condiciones iniciales) para encontrar el mejor ajuste entre el modelo numérico y cientos de años de observaciones. Consulte la documentación de la última DE en The JPL Planetary and Lunar Ephemerides DE440 y DE441 (que se encuentra aquí )
Tenga en cuenta que las series de Chebyshev se usan comúnmente para construir aproximaciones rápidas, precisas y numéricamente estables a funciones que de otro modo serían difíciles y costosas de calcular. Las efemérides son simplemente una aplicación de muchas.

Respuestas (1)

También me sorprende que el JPL use un modelo numérico en lugar de hacer una simulación física de n cuerpos del Sistema Solar.

JPL utiliza una simulación de física de n-cuerpos del sistema solar. Es una simulación muy compleja y que consume mucho tiempo. Luego lo ejecutan una y otra vez, ajustando cada vez varios elementos de la simulación (p. ej., masas planetarias, posición y velocidad en el momento de la época) para disminuir el desajuste entre las observaciones calculadas y las registradas. Es solo después de ejecutar la simulación muchas veces que generan los coeficientes de Chebyshev que se publican como una nueva versión de Development Ephemerides.

¿Por qué usamos los polinomios de Chebyshev para predecir las posiciones de los cuerpos del sistema solar?

Supongamos que en lugar de liberar conjuntos de coeficientes de interpolación, el JPL liberó todos esos números mágicos: masas, tiempo de época y estados (posiciones y velocidades) en el tiempo de época. Para recrear los estados tal como se propagan en la simulación JPL, sería necesario ejecutar la simulación exacta que usa JPL (que JPL no publica) usando

  • El mismo tipo de computadora,
  • El mismo sistema operativo,
  • El mismo compilador/enlazador/biblioteca del sistema, y
  • Las mismas opciones de compilador/enlazador

que utiliza JPL para ejecutar su simulación. Cualquier desviación de esa igualdad dará como resultado una ejecución de simulación que diverge de forma no lineal de los resultados de JPL. Para empeorar las cosas, ejecutar esa simulación será computacionalmente costoso. Liberar una efemérides en términos de conjuntos de coeficientes de interpolación evita todo este lío.

JPL utiliza coeficientes polinómicos de Chebyshev en lugar de otros esquemas de interpolación en sus efemérides publicadas por muchas razones. Una razón es que calcular la posición y la velocidad a partir de esos conjuntos de coeficientes de Chebyshev es bastante rápido. El software subyacente necesita determinar el bloque de tiempo que contiene los coeficientes relevantes, cargar los coeficientes y aplicarlos.

Otra razón para usar polinomios de Chebyshev es que un ajuste de polinomio de Chebyshev se acerca bastante a un ajuste de polinomio mágico llamado polinomio minimax. El polinomio minimax minimiza la desviación absoluta máxima de la curva verdadera. Esto es exactamente lo que quiere un consumidor de un ajuste. A mí, por mi parte, me importa menos la bondad de un ajuste en el sentido de los mínimos cuadrados que el desempeño en el peor de los casos. El polinomio minimax minimiza el rendimiento en el peor de los casos.

No sé si JPL lo usa, pero hay un algoritmo complicado y computacionalmente costoso, el algoritmo de intercambio Remez , que ajusta los coeficientes de Chebyshev aún más cerca del polinomio mágico minimax.

FWIW, aquí hay una gráfica que compara los errores al aproximar 3 X 2 5 − 2 X 3 encima [ 0 , 1 ] con polinomios minimax de Chebyshev y Remez de cuarto grado, consulte aquí los coeficientes poli.
Esa es una buena trama, @PM2Ring. Muestra varias características clave de los polinomios de Chebyshev y minimax. (1) Están bastante cerca. Un poco de intercambio de Remez y listo: ahí está el polinomio minimax. (2) El polinomio minimax tiene seis extremos de error, cada uno de los cuales está exactamente a la misma distancia del eje x de error cero. (3) El polinomio de Chebyshev es "mejor" en aproximadamente el 80% del dominio. (4) La ley de Murphy dicta que mis puntos elegidos al azar caerán inevitablemente en la porción del 20% del dominio donde el polinomio minimax es mejor.
Esta es una gran respuesta, ¡muchas gracias! Tal vez parte de la razón por la que lo encontré poco intuitivo es que la posición es una cantidad 3D, pero muchas explicaciones introductorias (por ejemplo, la trama de @PM2Ring) son 1D. Obviamente, estas técnicas de aproximación se extienden naturalmente a múltiples dimensiones, por lo que es solo un bloqueo mental.
@prideout Los coeficientes de Chebyshev en las Efemérides de desarrollo de JPL son para una dimensión en función del tiempo. Cada planeta tiene tres conjuntos de coeficientes en una Efemérides de desarrollo del JPL, uno para la posición x en función del tiempo, otro para la posición y y un tercero para la posición z.
@DavidHammen No sé si esto se eleva al nivel de una nueva pregunta o no, pero siempre me he preguntado si hay tres coeficientes más para la velocidad, o si la velocidad de los DE es solo el tiempo analítico derivado del interpolado. curvas.
@uhoh No hay una necesidad particular de coeficientes de velocidad. Los polinomios de Chebyshev son funciones de tiempo (a escala). Es un asunto trivial usar los mismos coeficientes usados ​​para los elementos de posición x, y, y z para calcular las derivadas temporales de esos elementos. Dicho esto, el sistema SPICE SPK proporciona la capacidad de tener coeficientes separados para posición y velocidad. Un kernel de tipo 2 contiene coeficientes de posición solamente, mientras que un kernel de tipo 3 contiene coeficientes de posición y velocidad. Las Efemérides de desarrollo contienen lo que son esencialmente núcleos de tipo 2.
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