¿Por qué JPL usa esta expresión para emular las órbitas de Schwarzschild?

A partir de la expresión 4-61 en la página 4-42 de la documentación "Formulación para valores observados y calculados de tipos de datos de red de espacio profundo para navegación", se puede ver que JPL usa la siguiente expresión para tener en cuenta los efectos de la relatividad en las condiciones de Schwarzschild:

$\frac{d\bar{v}}{dt}=-\frac{GM}{r^2}(1-\frac{4GM}{rc^2}+\frac{v^2}{c^2})\hat{r}+\frac{4GM}{r^2}(\hat{r}\cdot\hat{v})\frac{v^2}{c^2}\hat{r}$

Cuando uso esta expresión en un integrador, replica correctamente la "precesión anómala del perihelio". Sin embargo, en la solución de Schwarzschild en coordenadas de Schwarzschild, debe obtener la misma velocidad orbital en una órbita circular que de forma clásica. Además, la aceleración inicial al dejar caer un objeto desde el reposo debería ser la misma que la clásica (creo). Esta expresión JPL falla en lograr eso ^† . Alguien me dijo que JPL usa coordenadas isotrópicas en lugar de coordenadas de Schwarzschild y que esto podría ser un efecto de eso, pero eso me parece extraño.

Si usa el concepto de "masa relativista", que funciona bastante bien para calcular la aceleración relativista de una partícula cargada bajo la influencia de la fuerza de Lorentz, en la gravedad termina con:

$\frac{d\bar{v}}{dt}=-\frac{GM}{r^2}(\hat{r}-\frac{v^2}{c^2}(\hat{r}\cdot\hat{v})\hat{v})$

Esto solo puede generar un tercio del desplazamiento del perihelio, pero la expresión es mejor que la expresión JPL en el sentido de que reproduce valores correctos para la velocidad orbital y la aceleración inicial de un objeto en reposo ^† . Haciendo trampa e insertando un factor de tres:

$\frac{d\bar{v}}{dt}=-\frac{GM}{r^2}(\hat{r}-3\frac{v^2}{c^2}(\hat{r}\cdot\hat{v})\hat{v})$

obtienes una expresión que reproduce el cambio de perihelio correcto pero también la velocidad orbital correcta de un objeto en órbita circular y la aceleración inicial de un objeto en reposo.

^† La condición para el movimiento circular es$\mathbf{v} \cdot \mathbf{r}=0$, no hay parte radial del movimiento. Luego establece los términos de aceleración que no desaparecen para$\mathbf{v} \cdot \mathbf{r}=0$igual a$v^2/r$, la aceleración centrífuga y resolver. Ves que en el caso de que no haya movimiento,$v=0$, y en el caso de que no haya movimiento radial, la segunda y la tercera expresión anteriores se reducen a la aceleración gravitatoria newtoniana clásica, que también se espera de la solución de Schwarzschild en coordenadas de Schwarzschild, pero la "expresión JPL" no. Sería muy feliz si alguien de JPL pudiera decirme por qué está usando la primera expresión anterior. Hay una derivación rudimentaria de la expresión en la documentación, pero es de un nivel bastante alto y no tan fácil de comprender.

Tenga en cuenta que según JPL$v = \sqrt{GM/R}$ya no es válido para una órbita circular, sino que tiene ^† :

$v=\sqrt{\frac{GM}{r}\frac{(1-4GM/(rc^2))}{(1-GM/(rc^2))}}$

Además, al dejar caer un objeto desde el reposo, según el JPL, la aceleración es la siguiente:

$\frac{d\bar{v}}{dt}=-\frac{GM}{r^2}(1-\frac{4GM}{rc^2})\hat{r}$

A partir de esta última expresión, en realidad vemos que JPL, en todos sus cálculos de efemérides, en realidad usa un pequeño término gravitacional de "cubo r inverso negativo", que es un poco extraño.

Preguntas:

1.¿Por qué JPL usa la primera expresión anterior y no algo similar a la tercera?

2.¿Cuál es la expresión correcta para la velocidad orbital de un cuerpo en movimiento circular según JPL?

3.¿Cuál es la aceleración inicial correcta de un objeto en reposo según JPL?

Estaría muy feliz de obtener algunas respuestas.

Fuertes órbitas de campo

Pasé mucho tiempo, vi papel viejo y desordenado , tratando de encontrar alguna explicación física de por qué, al menos en el límite de campo débil, la tercera expresión anterior debería ser cierta al experimentar con una "masa relativista relativista general" de el tipo$\gamma(r,v)$en lugar de solo$\gamma(v)$pero no lo logré del todo. si insertas$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}-\frac{v^2}{c^2}}}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}}}$en$\frac{d(m\gamma\bar{v})}{dt}=-\frac{GMm\gamma}{r^2}\hat{r}$terminas con$\frac{d\bar{v}}{dt}=-\frac{GM}{r^2}\left(\hat{r}-3\frac{v^2(\hat{r}\cdot\hat{v})\hat{v}}{c^2(1-\frac{2GM}{rc^2})} +\frac{v^4(\hat{r}\cdot\hat{v})\hat{v}}{c^4(1-\frac{2GM}{rc^2})^2}\right)$.

En los límites de campo fuerte, esta expresión da como resultado órbitas como se muestra a continuación, donde el círculo verde representa el radio de Schwarzschild y el círculo rojo representa el radio de la "órbita circular estable más interna" ubicada a una distancia de tres radios de Schwarzschild. El resultado es similar a lo que se espera de GR.

Si usa la fórmula JPL en el límite de campo fuerte, puede obtener efectos de "rebote" muy extraños como se muestra a continuación, esto se debe al término repulsivo del cubo r inverso:

Esto no es en absoluto lo que se espera de GR. Me di cuenta de que hay una versión de orden superior de la fórmula JPL que incluye un inverso atractivo$r^4$término así como un inverso repulsivo$r^5$término. Aún así, creo que es muy extraño simular GR usando un repulsivo$r^3$término y realmente no sé la razón por la cual es una práctica común hacer precisamente eso.