¿Por qué no se puede construir este mezclador con dos resistencias?

Piénselo: qué sucede cuando no hay una tercera resistencia (a 0 voltios) y ambos voltajes de entrada son (digamos) 10 voltios: la salida será de 10 voltios independientemente de lo que haya configurado R1 y R2, es decir, no No funciona sin una tercera resistencia. Tal vez haya algunas excepciones, pero en general, no funciona.

Como ya te has enterado:

También date cuenta de que:

Entonces$a$y$b$están estrechamente acoplados: una vez que elige el valor para$a$seleccionando$R_1$y$R_2$, entonces el valor de$b$se establece también. En otras palabras: 2 resistencias solo le dan un grado de libertad , mientras que necesita 2 grados de libertad para establecer$a$y$b$independientemente.

¿Y cómo puede introducir el grado adicional de libertad que necesita? Con una resistencia adicional$R_3$conectado a tierra de modo que:

Este es el circuito resultante:

^{simular este circuito : esquema creado con CircuitLab}

Ahora,$a$y$b$no están tan estrechamente acoplados como antes. gracias a la resistencia$R_3$puede seleccionar valores para$a$y$b$aparte de los que dan$a+b=1$. Ahora el problema se reduce a resolver para$R_1$,$R_2$y$R_3$, para que consigas lo que deseas$a$y$b$.

Una mirada alternativa al problema:

Otra forma de ver esto es la siguiente.

Tienes 2 fuentes de voltaje$V_1$y$V_2$conectado a un nodo común a través de resistencias$R_1$y$R_2$. Entonces, el voltaje en el nodo común es un promedio ponderado de voltajes$V_1$y$V_2$, en la forma$V_{out}=aV_1+bV_2$. Puede cambiar la resistencia para establecer los pesos$a$y$b$, pero la suma de los pesos debe ser 1,$a+b=1$.

Ahora introducimos una tercera fuente de voltaje, por lo que tiene 3 fuentes de voltaje$V_1$,$V_2$y$V_3$conectado a un nodo común a través de resistencias$R_1$,$R_2$y$R_3$. Nuevamente, el voltaje en el nodo común es un promedio ponderado de voltajes$V_1$,$V_2$y$V_3$, en la forma$V_{out}=aV_1+bV_2+cV_3$. Puede cambiar la resistencia para establecer los pesos$a$,$b$y$c$, pero la suma de los pesos debe volver a ser 1,$a+b+c=1$.

Sin embargo, en este caso podemos poner la tercera fuente a 0V, que es lo mismo que conectar$R_3$al suelo. Entonces la salida no dependerá del coeficiente.$c$, es decir$V_{out}=aV_1+bV_2$. Tienes la misma expresión del caso anterior, pero con un grado extra de libertad, porque ahora$a+b=1-c$en lugar de$a+b=1$. Por lo tanto, puede ajustar el valor de c para obtener los valores de$a$y$b$Que tu necesitas.

Las otras respuestas son correctas. Podría ser más fácil de entender si primero puede asegurarse de que los coeficientes de V1 y V2 en la ecuación para Vout deben sumar 1, si solo se usan 2 resistencias. En la tarea no lo hacen, por lo que la tercera resistencia permite que el total sea un valor más pequeño.

^{simular este circuito : esquema creado con CircuitLab}

Como señaló Andy, los valores de las resistencias en este circuito no son relevantes si$V_1 = V_2$ $V_{out}$será lo mismo que$V_1$o$V_2$.

La salida siempre estará en algún lugar entre$V_1$y$V_2$.

Si aplica la ley actual de Kirchoff de que la corriente neta en un nodo es cero, o para decirlo de otra manera, en este caso, la corriente que fluye hacia 'fuera' a través de$R_1$debe ser igual a la corriente que sale por$R_2$podemos probar fácilmente.

Así que estamos buscando para resolver tu ejemplo.

$\dfrac{R_2}{R_1+R_2} = \dfrac{1}{2}$entonces$R_2 = R_1$

y

$\dfrac{R_1}{R_1+R_2} = \dfrac{1}{6}$entonces$R_2 = 5 \cdot R_1$

Obviamente, ambos no pueden ser ciertos, por lo que necesita la tercera resistencia a 0V.

Editar: extender esta respuesta

Si añadimos una tercera resistencia hemos ampliado el rango de$a$y$b$disponibles, pero todavía estamos limitados en cuanto a las proporciones disponibles.

Sin$R_3$entonces$a = \dfrac{R_2}{R_1 + R_2}$y$b = \dfrac{R_1}{R_1 + R_2}$Donación:

Desde$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{3} \neq 1$Lo que quieres no es posible.

agregando$R_3$de salida a 0V tenemos

Donación

$a = \dfrac{R_2}{R_1 + R_2 + \dfrac{R_1 \cdot R_2}{R_3}}$y$b = \dfrac{R_1}{R_1 + R_2 + \dfrac{R_1 \cdot R_2}{R_3}}$

Un pensamiento momentáneo debería convencerte de que$0 \le a + b \lt 1$

como elegimos$R_1$,$R_2$y$R_3$?

$R_2 = \dfrac{a}{b} \cdot R_1$

y

$R_3 = \dfrac{a}{1 - (a+b)} \cdot R_1$