¿Por qué la varianza del ruido de Fano no es proporcional al número de llegadas de fotones?

Parece que la confusión se debe a alguna notación desafortunada. Como dice el OP, el ruido de Fano se debe a la variación en la producción de fotoelectrones por fotón incidente, y esto debería depender de la señal. Sin embargo, el autor también afirma que el ruido total viene dado por:

$$\tag{1} \sigma^2_\mathrm{TOTAL} = \sigma^2_\mathrm{READ} + \eta_i F_F + \eta_i S$$

Esta ecuación es confusa, porque el primer y el tercer término parecen ser los términos familiares para el ruido de lectura y el ruido de fotones, pero el segundo término, que representa el ruido de Fano, parece no depender del nivel de la señal. Las cosas se confunden aún más porque la notación utilizada por el autor es sutilmente diferente de lo que yo (¿y supongo que la mayoría de los demás?) Estoy familiarizado.

Primero resolveremos esta notación, luego aclararemos la confusión sobre el ruido de Fano y finalmente veremos si podemos dar sentido a la ecuación 1. Me referiré al capítulo del texto en cuestión, "Transferencia de fotones". por James Janesick, que se puede encontrar gratis aquí . Indicaré explícitamente cuando me refiera a una ecuación de Janesick, mientras que las referencias a mis propias ecuaciones serán simplemente por número.

Notación

Para ser claros, no estoy diciendo que esta notación sea mala. Es diferente de lo que la mayoría de la gente está acostumbrada, pero lo suficientemente similar como para ser confuso si no tienes cuidado.

$$\begin{array} {l l} \sigma^2 & \quad \textrm{Variance} \\ \eta_i & \quad \textrm{The expectation value for the numper of photoelectrons per incident photon} \\ F_F & \quad \textrm{Fano coefficient} \\ S & \quad \textrm{Expected Number of photoelectrons in an exposure} \\ N_P & \quad \textrm{Number of photons incident in a given exposure} \\ P_I & \quad \textrm{Expected Number of photons incident on the detector}\\ \end{array}$$

Tenga en cuenta las siguientes relaciones también:

$$\begin{array} {r c l} P_I &=& \left<N_P\right> \\ S &=& \left< S_\textrm{PEAK} \right> \\ S_\textrm{PEAK} &=& \eta_i N_P \\ S &=& \eta_i P_I \end{array}$$

dónde$\left<X\right>$representa el valor esperado de la variable aleatoria$X$. Así que recuerda eso$S$y$P_I$son los valores medios de sus respectivas distribuciones, mientras que$N_P$y$S_\textrm{PEAK}$son los valores específicos medidos en un ensayo particular.

Otra sutileza de la notación de este autor es que$\eta_i$no es simplemente la eficiencia cuántica, y no está necesariamente limitada a [0, 1). En la notación de este autor,$\eta_i$incluye las dos cantidades a las que me referiría por separado como la eficiencia cuántica$\eta$, y la ganancia$G$. Así que puedo sustituir$\eta_i \rightarrow \eta G$dónde$\eta$es un sin unidad y$0 \leq \eta \leq 1$.

Como ejemplo, se supone que el tercer término de la ecuación 1 representa la contribución a la varianza del número de fotoelectrones debido a las estadísticas distribuidas de Poisson de la señal del fotón (es decir, el ruido del fotón). Si hacemos todas mis sustituciones preferidas, obtenemos:

$$\begin{array}{r c l c r c l} \sigma^2_\textrm{photon} &=& \eta_i S &\quad& S &\rightarrow& \eta_i P_I \\ \sigma^2_\textrm{photon} &=& \eta^2_i P_I &\quad& \eta_i &\rightarrow& \eta G \\ \sigma^2_\textrm{photon} &=& \eta^2 G^2 P_I \end{array}$$

...que es la expresión familiar para la contribución de la varianza del ruido de fotones es un sistema con ganancia. Esto también concuerda con las ecuaciones de Janesick 3.5 y 3.6. Hasta ahora, todo bien.

ruido de fano

Por un momento, ignoremos la ecuación 1 y sigamos a Janesick en la sección 3.3, donde presenta el ruido de Fano. Janesick usa el ejemplo de un CCD o algún otro conjunto de detectores, por lo que podemos, indistintamente, hablar de la señal de una sola "prueba", o de un píxel, o de una sola exposición. Además, cada píxel de la matriz verá una fuente de fotones con el mismo$P_I$, mientras que el número de fotones que inciden en cada píxel,$N_P$, generalmente no será exactamente$P_I$, pero seguirá una distribución de Poisson con$P_I$como su media.

En la ecuación de Janesick 3.7, da la varianza en la generación de huecos de electrones como:

$$\tag{2} \sigma^2_\textrm{FN} = F_F \eta_i$$

dónde$F_F$es una constante,$0\leq F_F \leq 1$describiendo la fuerza del ruido. Mirando esta ecuación, podemos estar seguros de que estamos considerando la producción de huecos de electrones a partir de una interacción de un solo fotón. ¿Por qué? Bien, considere el caso donde$F_F = 0$. Si esta expresión es para una interacción de un solo fotón, entonces la$F_F = 0$El caso corresponde a la situación en la que cada fotón produce exactamente el mismo número de fotoelectrones, y no hay ningún término de ruido adicional asociado con el proceso de producción de huecos de electrones. Ahora considere el$F_F = 1$caso. Esto, según el texto que precede a la ecuación de Janesick, corresponde a que el proceso de producción de huecos de electrones es puramente poissoniano y, de hecho, la ecuación se reduciría a

$$\sigma^2_\textrm{FN} = \eta_i$$

lo que simplemente nos dice que la varianza del proceso de generación de huecos de electrones sería igual al número esperado de fotoelectrones de un fotón ($\eta_i N_P$dónde$N_P = 1$). En otras palabras, la varianza sería igual a la media, como se esperaba para un proceso de Poisson.

Así que ahora entendemos el ruido de Fano para una interacción de un solo fotón, y vemos que$F_F$describe el grado en que este ruido es menos ruidoso que un simple proceso de Poisson.

Continuando, Janesick vuelve al ejemplo de la matriz CCD y traza un histograma de la carga medida en cada píxel después de exponer la matriz a una señal incidente promedio de 3 fotones por píxel, con$\eta_i = 10e^- \textrm{/photon}$. Así que estamos viendo el resultado de muchas pruebas con$P_I=3 \textrm{photons}$y$S = 30e^-$, pero hay picos alrededor$(10, 20, 30, \ldots) e^-$por píxel porque$N_P$es una distribución de Poisson. Cada pico se amplía por el ruido de lectura, pero también vemos que los picos en mayor$N_P$son más anchos. ¿Por qué? La ecuación de Janesick 3.9 nos dice:

$$\sigma^2_\textrm{FN,PEAK} = N_P F_F \eta_i$$

En otras palabras, el ruido de Fano varía en función de la señal, pero no de la señal media.$P_I$. Más bien, varía con el número de fotones incidentes en un solo ensayo.

Ahora las cosas se vuelven confusas. Janesick nos dice que para combinar el ruido de disparo y el ruido de Fano, sumamos las varianzas de la forma habitual:

$$\sigma^2_\textrm{SHOT+FN} = \sigma^2_\textrm{SHOT} + \sigma^2_\textrm{FN}$$

No hay sorpresa allí, pero nos preguntamos qué expresión nos dará$\sigma^2_\textrm{FN}$? El ruido de disparo, como sabemos, varía con la señal.$P_I$o$S$, pero aún no hemos visto cómo extender el$N_P$dependencia del ruido de Fano a una expresión que contiene el nivel medio de la señal. En este punto, entendemos el ruido de Fano como una contribución a la varianza en el número de fotoelectrones de los píxeles con un número dado de fotones incidentes, pero este número en sí tiene una distribución de Poisson. Janesick sustituye la ecuación 2 (su ecuación 3.7) para afirmar que

$$\tag{3} \sigma^2_\textrm{SHOT+FN} = \eta_i \left(S + F_F \right)$$

..pero no justifica explícitamente esta sustitución.

La confusión y la resolución

Es esta sustitución final la que conduce a la forma que vemos en la ecuación 1, y la confusión puede atribuirse a una falta de claridad sobre cómo se justifica esa sustitución. Posiblemente haya algún teorema que establezca que la varianza de un proceso en el que las varianzas de cada ensayo se distribuyen ellas mismas con una varianza dada se puede sumar de tal manera que se llegue a la ecuación 3, pero no conozco tal teorema.

Sospecho que la resolución correcta de esta confusión es doble: primero, el término de ruido descrito en la ecuación 3.7 de Janesick es puramente una descripción empírica, por lo que se podría suponer que la forma de la ecuación 1 es simplemente una estimación empírica del ruido en un detector. donde los efectos de Fano no son despreciables.

En segundo lugar, es solo para señales pequeñas donde dominará el ruido de Fano, por lo que al considerar el ruido de Fano podemos tomar$N_P \approx 1$. Así podemos justificar la sustitución realizada por Janesick. Esta suposición parecería apropiada, ya que la relación señal/ruido (SNR) debido al ruido de los fotones escalará con$\sqrt{P_I}$, mientras que la SNR para el ruido de Fano escalará como$\sqrt{\frac{N_P \eta_i}{F_F}}$, por lo que el hecho de que el ruido de Fano domine sobre el ruido de fotones implicaría una alta ganancia y un bajo flujo de fotones. En otras palabras, el ruido de Fano está asociado con detectores de conteo de fotones individuales.

La desviación estándar de un sistema de n medidas suele ser proporcional a sqrt(n). Entonces la varianza es naturalmente proporcional a n. Así que la proporcionalidad no es sorprendente.

Para la situación en la que se realizan n pruebas binomiales con probabilidad p de éxito, el número esperado de éxitos es np. La desviación estándar para una estimación de$p$es$\sqrt(p(1-p)/n$. (Nota, asumo que$n$es grande e ignorando las diferencias entre$n$y$n-1$que surgen dependiendo de si se tiene conocimiento previo de la probabilidad real$p$.) Por lo tanto, la desviación estándar para una estimación de$np$es$\sqrt{np(1-p)}$, y la varianza es el cuadrado de esto, es decir$np(1-p)$que es proporcional a$n$.