¿Por qué el rey Bradley permitió que los hermanos Elric, Hughes y Armstrong siguieran investigando a los militares?

Esto no funcionaría, por varias razones.

Ordenándoles que no investiguen

Si Bradley les ordena detener su investigación sin causa, solo podría significar dos cosas:

1. Bradley no quiere que descubran algo, lo que implica que de alguna manera está involucrado o relacionado con sus hallazgos en el Quinto Laboratorio.
2. Bradley es un idiota.

Dado que no creo que ninguno de los presentes acepte la segunda explicación, implica claramente que Bradley está involucrado de alguna manera con los homúnculos. Dudo que esto detenga a Mustang ya que pretende convertirse en Führer, y exponer al actual podría ayudarlo a lograr ese objetivo. Los hermanos Elric probablemente también estarían aún más motivados.

Matandolos

Si Bradley los mataba, de hecho detendría su investigación en seco, ya que todos los que lo supieran estarían muertos. Puede haber algunos chismes sobre el asesinato inexplicable de oficiales militares por parte del Führer, pero probablemente se calmarán con el tiempo.

Sin embargo,

• No puede matar a Ed o Al ya que son sacrificios importantes para el complot de los homúnculos para

  convertir a Amestris en una piedra filosofal.

• Tampoco puede matar a Mustang ya que es un candidato potencial para la trama anterior.

Podría matar a Hughes y a cualquier otra persona presente, pero eso solo agregaría combustible al fuego para Mustang y los hermanos Elric, aumentando las posibilidades de que descubran sus verdaderos motivos.

Por estas razones, decidió permitirles continuar con su investigación con la esperanza de que se despisten y no sospechen que él está involucrado.

Aunque esta pregunta tiene una respuesta aceptada, no creo que responda completamente la pregunta como se titula. Hemos cubierto por qué Bradley no los mata, pero esa no es la pregunta principal. ¿Por qué les permitió continuar con su investigación? No necesitaba matarlos para evitar que investigaran. Entonces, ¿por qué no los presionó, los tomó cautivos o hizo cosas similares?

Bueno, la respuesta es: lo hizo. Les advirtió sobre el peligro que estas investigaciones representan para ellos, lo vemos pasar varias veces, charlando casualmente con Winry, se encuentra con Mustang con los Oficiales,… Casi cada vez que lo vemos, al menos implícitamente amenaza a nuestros protagonistas. A medida que Mustang continúa su investigación, se vuelve más directo y transfiere a la gente de Mustang y a Hawkeye como una especie de rehén. Incluso encarcela al doctor Marco.

Tenga en cuenta que estamos hablando de Wrath, a quien le gustaría matar a cada uno de ellos solo por hacerlo. Se templa a sí mismo en todo momento, por lo que le resulta difícil decidir cuál es la cantidad correcta de acción/fuerza. Comienza con advertencias y los pone bajo vigilancia para poder matarlos cuando descubren demasiado (RIP Hughes), luego los amenaza y reduce sus opciones. No puede matar a la mayoría de ellos, así que hace todo lo que puede (excepto encarcelarlos, pero eso sería muy inconveniente para la trama) para asegurarse de que no descubran demasiado.

Su única otra opción habría sido un gran engaño duplicando la historia de que estaba tratando de descubrir la conspiración e instándolos a trabajar directamente bajo él (tenerlos bajo control) o abandonar la investigación porque es demasiado peligroso ya que alcanzó hasta la derecha debajo de sí mismo.

[Editar:] Otra razón para no matarlos ni encarcelarlos es el hecho de que todavía es un líder militar en un momento de conflicto abierto con varios vecinos. Como se insinúa en la serie, después de que Scar mató a bastantes alquimistas estatales, la fuerza de los militares se debilita considerablemente. Perder tres alquimistas estatales más y una armadura viviente que lucharía al lado de Ed de todos modos no parece ser una decisión acertada. El padre no quiere desperdiciar sus recursos para defender el país, por lo que Bradley debe mantener la fuerza militar. Y debilitar a propósito a los militares en un momento como este parecería extraño para cualquier otra persona, incluso si nadie más pudiera plantear un hilo, más personas investigando sería un inconveniente.

[Edit2:] A partir del episodio 30, ni Mustang ni los hermanos Elric llevan a cabo ninguna investigación (ni actúan contra el padre de ninguna otra manera) que sea visible para Bradley. Después de sus próximos pasos visibles, se convierten en parias y desertores.