¿Por qué el axioma de elección implica la existencia de un Dios único?

Lo siguiente está parafraseado de A Passion for Mathematics de Clifford A. Pickover (leído en la voz de Kiefer Sutherland): ( mathjax aquí )

Teorema : El axioma de elección equivale a la existencia de un Dios único (San Anselmo, Tomás de Aquino y otros).

Prueba:

Primero, supongamos el axioma de elección. Ordenar parcialmente el conjunto de subconjuntos del conjunto de todas las propiedades de los objetos por inclusión. Este conjunto tiene elementos máximos. Dios es por definición (debido a Anselmo) un conjunto máximo de elementos.

Probamos la existencia: Dios $\subseteq$ Dios $\taza$ ${$existencia$}$, entonces Dios $=$ Dios $\taza$ ${$existencia$}$. Por lo tanto, Dios existe.

Probamos la unicidad: Sea Dios y Dios′ dos dioses, entonces Dios $\taza$ Dios′ $\supseteq$ Dios (debido a Tomás de Aquino) $\implica$ Dios $\taza$ Dios′ = Dios $\implica$ Dios $ \subseteq$ Dios′ Del mismo modo, Dios′ $\subseteq$ Dios. Por lo tanto, Dios es único.

Segundo, suponer la existencia de un Dios único, omnipotente, omnisciente y amoral (u omnibenevolente. No importa para este contexto). Dado un conjunto de índices $R$ y una colección de conjuntos ${A_{\alpha}}_{{\alpha \in R}}$, oremos para que el único Dios escoja, por omnipotencia, $x_{\alpha} \in A_ {\alfa}$ por cada $\alfa \en A$. Luego $${x_{\alpha}}_{\alpha \in R} \in \prod_{\alpha \in R} A_{\alpha}$$ según sea necesario.

Preguntas:

  1. ¿Qué es un "conjunto de elementos máximo"? No pude encontrar esto en línea. No recuerdo haber aprendido esto en la clase de filosofía de la religión cuando estaba en la licenciatura.

  2. En existencia, ¿cómo implica Dios $\subseteq$ Dios $\taza$ ${$existencia$}$ Dios $=$ Dios $\taza$ ${$existencia$}$? Supongo que de alguna manera ya hemos tenido Dios $\supseteq$ Dios $\taza$ ${$existencia$}$.

  3. En unicidad, ¿por qué tenemos ese Dios $\subseteq$ Dios′ en lugar de Dios $\supseteq$ Dios′?

  4. ¿Se requiere unicidad para la segunda dirección? Solo puedo pensar en la opción única de $x_{\alpha}$ o algo por el estilo.

Creo que estoy bien con la segunda dirección.

Actualización: creo que este enlace podría tener algunas respuestas.

No puedes usar mathjax aquí.
@curiousdannii Es por eso que puse "mathjax aquí" en la parte superior.
Bueno, deberías editarlo para que sea legible. Puede usar <sub>y <sup>, y varios (probablemente la mayoría) de los símbolos están en Unicode.
Bueno, el conjunto máximo de un powerset si, por supuesto, el conjunto original en sí. Eso es único. ¿Qué tiene que ver con el axioma de elección o Dios? Entiendo que la última parte trata de decir que un Dios todopoderoso implica un axioma de elección, pero ¿no significa eso básicamente que se asume un axioma de elección?

Respuestas (2)

No haré declaraciones sobre las implicaciones matemáticas, filosóficas o teológicas de la prueba . Pero puedo ayudarte con las matemáticas (esto sería mejor hacerlo en math.SE).

  1. Haz un orden de los conjuntos: Un conjunto A es mayor o igual que un conjunto B si B es un subconjunto o igual de A . Un conjunto de elementos máximo (Dios) es máximo en este orden, por lo que no tiene ningún conjunto que sea un superconjunto.
  2. Como dijiste tenemos a Dios $\supseteq$ Dios $\cup$ ${$existencia$}$ como la existencia es una propiedad, Dios $\cup$ ${$existencia$}$ es mayor o igual que Dios, pero Dios es máximo (ver 1).
  3. Yo también lo haría al revés. Pero también funciona ("Del mismo modo...").
  4. No creo que se requiera unicidad, pero la tenemos, así que, ¿por qué no asumirla?

La pregunta tiene un error de categoría.

Como dividir cualquier número por cero.

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