¿Por qué eee en la fórmula para la densidad del aire?

En realidad, es una ecuación diferencial sorprendentemente sencilla. Si supones que la aceleración de la gravedad$g$no cambia con la altitud (una buena aproximación si la atmósfera es delgada en comparación con el radio de la tierra), la relación de Bernoulli te dice el cambio en la presión$P$con altura$h$:

$$\frac{dP}{dh} = -\rho g$$ Mientras tanto, la presión y la densidad también están relacionadas por la ley de los gases ideales. $$PV = NRT$$ o $$P = \rho \frac{RT}{M}$$ dónde $M$es la masa de un mol del gas. Si estás dispuesto a descuidar los cambios de temperatura $T$y masa molar media $M$, puedes diferenciar con respecto a la altura y encontrar $$\begin{align} \frac{dP}{dh} = \frac{d\rho}{dh} \frac{RT}M &= -\rho g \\ \frac{d\rho}{dh} &= -\rho \frac{gM}{RT} = -\frac{\rho}{h_0} \end{align}$$ Esta es la clásica ecuación diferencial para una exponencial.

Si uso buenos números redondos$R=8\,\mathrm{\frac{J}{mol\cdot K}}$,$T=300\,\mathrm K$,$M=30\,\mathrm{g/mol}$,$g=10\,\mathrm{m/s^2}$, obtengo una altura de escala de 8000 metros, diferente de la aproximación de su libro de texto de$10^4$ metros en un 20%.

Puede reorganizar los términos para tener cualquier constante como base del exponente:

$D = 1.25 e^{(-0.0001h)}$

$= 1.25 (e^{0.0001})^{-h}$

$= 1.25 (2^{\frac{0.0001}{ln 2}})^{-h}$

$\approx 1.25 (2^{0.00014})^{-h}$

$= 1.25 \times 2^{(-0.00014h)}$

La constante de Euler aparece naturalmente en fenómenos en los que el gradiente espacial de una cantidad (o tasa de cambio con el tiempo) es proporcional a la cantidad misma:

$$\frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}x} = X/x_0$$ ( $x_0$determina la fuerza de la proporcionalidad y mantiene las unidades rectas).

La solución de esta ecuación diferencial es

$$X=X_o e^{x/x_0}$$ $X_0$establece la escala "vertical": es el valor de $X$en $x=0$. La densidad del aire resulta comportarse de esta manera. Si desea obtener más detalles, debe modificar la pregunta o comenzar una nueva pregunta.