Paradoja de la mecánica de fluidos

Este es un problema engañosamente simple en la mecánica de fluidos que no puedo resolver porque produce una paradoja.

Suponga que hay una pajilla y una pequeña columna de agua dentro de la pajilla, tal que la altura de la columna es significativamente menor que la altura de la pajilla, y que la parte superior de la columna está inicialmente a la misma altura que la parte superior de la paja Suponga también que el área de la sección transversal de la pajilla en la parte superior es A 1 , y en la parte inferior está A 2 , tal que A 1 > A 2 , y que este cambio en el área de la sección transversal de la pajilla ocurre en algún lugar alrededor de su punto medio.

Ahora suponga que la columna de agua se acelera desde el reposo debido a la fuerza gravitacional hasta que el fondo de la columna está a la misma altura que el fondo de la pajilla. A medida que la columna cae por el punto medio de la pajilla, su sección transversal cambia de A 1 a A 2 . Por lo tanto, su velocidad debe aumentar debido a la disminución del área de la sección transversal, como se deduce de la ecuación de continuidad. Esto significa que hay una fuerza que actúa sobre la parte inferior de la columna a medida que acelera a través del punto medio, y que esta fuerza no puede ser la fuerza gravitacional porque acelera uniformemente toda la columna.

Entonces la pregunta es esta: ¿cuál es la fuerza adicional?

Por lo general, esta fuerza proviene de un diferencial de presión, pero en este caso, tanto la parte superior como la inferior de la columna de agua están a presión atmosférica, por lo que no existe un diferencial de presión.

La paradoja es que si esta fuerza no existe, se viola la ecuación de continuidad. Si no se viola la ecuación de continuidad, entonces existe una fuerza sin diferencial de presión.

¿No habría alguna fuerza hacia arriba sobre el agua de la paja en el punto donde la paja se estrecha? No se trata de que haya una fuerza adicional en el agua más allá del estrecho, sino de que haya una fuerza que se oponga a la gravedad en el agua por encima del estrecho.
La aceleración de cada diminuto volumen de agua en la columna de agua aumenta a medida que pasa por el punto medio. Si hubiera una fuerza que se opusiera a la gravedad en el punto medio, esos pequeños volúmenes de agua experimentarían una disminución en la aceleración. ¡Pero en realidad sucede todo lo contrario!
Está ignorando por completo la resistencia al flujo que impone una restricción. Por lo tanto, parte de la premisa falsa de que v 2 > v 1 lo que ciertamente no es necesariamente cierto, véase también el caso de Duncan Harris para un agujero de alfiler. No hay paradoja aquí. La continuidad no se aplica aquí en el sentido estricto del entendimiento .
Sí, creo que Duncan Harris lo hizo bien, aunque definitivamente sigue siendo el caso de que v 2 > v 1 y que la ecuación de continuidad aún se mantiene.

Respuestas (1)

Hay un diferencial de presión.

Cuando el agua que cae golpea la obstrucción parcial en el medio de la pajilla, aumenta la presión alrededor de los bordes de la pajilla. Este aumento de presión acelera el agua hacia el pasaje más pequeño de abajo (y también trata de desacelerar el agua que viene de arriba).

Este efecto no es consistente durante el período en el que el agua pasa por el punto medio. Para cuando la parte superior de la columna de agua alcanza el punto medio, la presión en la constricción ha vuelto a la presión atmosférica, porque ya no hay más agua chocando contra las paredes de la paja.

Si no ve por qué la presión aumenta cuando la columna alcanza el punto medio, considere el caso extremo en el que la pajilla se reduce a un agujero de alfiler. Luego, el agua chocará contra la constricción y se detendrá por el aumento de la presión donde la parte inferior de la columna golpea la obstrucción (la presión está contenida por la paja en los lados y el fondo, y por la inercia del agua desde arriba). ). Este mismo efecto estará en juego con cualquier reducción menos drástica de la sección transversal.

Creo que resolvió con éxito la paradoja, así que muchas gracias por eso. Sin embargo, todavía no estoy seguro de cómo se calcularía este diferencial de presión.
El comportamiento de la columna de agua depende de la forma y dimensiones exactas de la pajita. Si hay una constricción abrupta, se producirán turbulencias y ondas de choque y se enfrentará a una simulación numérica muy exigente. Si la pajita tiene una disminución muy gradual y se conserva el flujo laminar simple, entonces puede establecer y resolver un sistema de ecuaciones para encontrar la presión en función de la altura y el tiempo.
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