Origen de la dispersión de Rayleigh

La dispersión de Rayleigh es la dispersión elástica de ondas electromagnéticas (típicamente luz) en átomos o moléculas neutrales (u otros objetos compuestos) sin espín, en el régimen donde la longitud de onda electromagnética es mucho mayor que el tamaño del átomo o molécula. Eso es,

$$\gamma + \text{neutral}_{s=0}\rightarrow \gamma + \text{neutral}_{s=0}$$

Se puede especular que este proceso también tiene lugar con partículas elementales neutras, sin espín, si hay un término invariante de Lorentz y gauge de dimensión seis en el Lagrangiano de la forma

$${1\over\Lambda^2}\Phi^{\dagger}\,\Phi\,F^2$$

dónde$F$es el tensor de Faraday. Esto va más allá del estricto QED.

Tenga cuidado, creo que confunde la dispersión del campo de luz (una onda) por partículas (la dispersión de onda-átomo, la dispersión de Rayleigh es una de ellas cuando la longitud de onda es mucho mayor que el átomo) y la dispersión de una partícula en un potencial (que representa algunas otras partículas, por ejemplo). El primero es clásico, el segundo está relacionado con la mecánica cuántica. La teoría se desarrolla naturalmente en$l$momento angular sólo para el segundo. Entonces, en resumen, no hay dispersión de Rayleigh per se en la teoría Q. hasta donde yo sé.

El régimen equivalente (entonces no llamado dispersión de Rayleigh) en la dispersión cuántica cuando el$s$-El componente de onda dominante es para partículas lentas. Véase, por ejemplo , Landau y Lifshitz, Teoría cuántica, parte I (Teoría no relativista) - 3ª edición, disponible allí . El problema de las partículas lentas está en la sección 130. No es lo mismo que la dispersión de baja energía, que podrías encontrar en la siguiente sección 131.

No soy físico de partículas, así que no puedo comentar sobre tu analogía. Lo que es cierto es que la dispersión de Rayleigh es el término de primer orden (diferencia de índice bajo, dispersor pequeño) en la teoría de dispersión de Mie más general. Nuevamente, no estoy realmente calificado para comentar sobre la dispersión de partículas: creo que podría superar al menos en parte el problema planteado en otras respuestas de que la luz y las partículas atómicas son órdenes de magnitud diferentes en tamaño con la teoría completa de Mie: puede hacer que su dispersor tan grande como quieras en relación con la longitud de onda.

Una referencia clásica aquí es Born and Wolf "Principles of Optics" y cito la sección del libro con el tratamiento de dispersión de Mie en https://physics.stackexchange.com/a/72955/26076 . Tal vez la teoría de Mie pueda ayudarlo a obtener información e inspiración.

Encontré otra referencia en el sitio web "math-physics-tutor.com":

http://www.math-physics-tutor.com/web_documents/multipole.pdf

cuyo tratamiento de la teoría de Mie es bastante más ordenado y amable de leer que el de Born y Wolf. No va tan lejos (Born and Wolf le dará expresiones completas para todos los tamaños de dispersión de todos los índices de refracción, ya sean complejos o reales), pero debería pensar que si quiere meterse en la estructura de las ecuaciones, esta última referencia parece mejor. No debería ser demasiado difícil generalizar: funcionan con el ejemplo de una esfera perfectamente conductora, que puede ser suficiente para lo que desea.

Comienzan con una expansión multipolar de una onda plana polarizada circularmente - vea la sección 7.6 - la ecuación crucial aquí h será 7.128a (tenga cuidado de que el lado izquierdo de la ecuación debe ser$c \mathbf{B}$, no$\mathbf{B}$(es posible que desee utilizar unidades en las que$c = 1$de todos modos). Para el término de Rayleigh, solo observará el$\ell = 1$término de todos modos.

La sección 7.7 "Teoría de Mie" le brinda las formas apropiadas para las ondas dispersas de todos los órdenes (ecuación relevante 7.130), luego las ondas dentro de la esfera son las mismas, pero con funciones de Bessel esféricas de primer tipo (sin polos en el origen) en su lugar de las funciones salientes de Hankel en las ondas dispersas. Además, aquí, por supuesto, deberá reemplazar$k$por$k\,n$, dónde$n$es el índice de refracción complejo de la esfera. Lo mejor de esta notación es que la onda plana entrante se divide en diferentes órdenes: el índice modal de colatitud$\ell$, y los diferentes órdenes no están acoplados por una esfera. Por lo tanto, puede hacer coincidir las condiciones de contorno para cada término de la serie por separado. Y, en cualquier caso, ya está hecho para la esfera conductora perfecta en la ecuación 7.143.

No estoy muy seguro de los comentarios sobre la polarización s y p. Supongo que esto tiene que ver con el comentario de momento angular de Anna V. Las ondas entrantes en el tratamiento que se acaba de describir están polarizadas circularmente y podría reescribir la Ec. 7.130 de manera que en lugar de las ondas separadas$\alpha$arena$\beta$s, tiene términos polarizados circulares puros que se ejecutan tanto de derecha a izquierda como de izquierda a derecha. Esto podría permitirle ver las relaciones de momento angular más fácilmente, aunque está claro que, dado que el$\alpha$y$\beta$generalmente no son simplemente$\pm1$veces la otra, que los componentes de polarización circular se van a mezclar de formas complicadas.

Espero que esto ayude.

Hay al menos dos diferencias principales entre la dispersión de Rayleigh y la dispersión cuántica de ondas s. Una es que la dispersión de Rayleigh puede describirse completamente mediante la electrodinámica clásica, sin apelar a la mecánica cuántica. La segunda es que las ondas electrodinámicas tienen una polarización, por lo que inherentemente no pueden ser esféricamente simétricas.

Para dar un paso atrás por un segundo, en la electrodinámica clásica, la dispersión de Rayleigh proviene de un dipolo eléctrico oscilante. Jackson resuelve este problema y llega a:

$$\begin{equation*} \frac{dP}{d\Omega} = \frac{c^2Z_0}{32\pi^2}k^4|(\mathbf{n}\times \mathbf{p}) \times \mathbf{n}|^2 \tag{9.22} \end{equation*}$$ y $$\begin{equation*}\frac{dP}{d\Omega} = \frac{c^2Z_0}{32\pi^2}k^4|\mathbf{p}|^2\sin^2\theta \tag{9.23} \end{equation*}$$ La ecuación 9.22 da la forma general de cualquier conjunto de relaciones de fase entre los componentes de $\mathbf{p}$; 9.23 es el caso específico donde todos están en fase. El momento dipolar eléctrico $\mathbf{p}$oscila con frecuencia $\omega = ck$. Luego irradia potencia por unidad de área a razón $\frac{dP}{d\Omega}$. En el caso coherente de 9.23, $\theta$se mide en relación con la dirección de $\mathbf{p}$. Puede tomar esto como el eje z. la presencia de la $\theta$factor hace que esto sea manifiestamente no esféricamente simétrico.

Jackson también trabaja el caso del monopolo eléctrico oscilante, en la sección 9.1. Muestra que las oscilaciones en el monopolo eléctrico no contribuyen con ninguna radiación lejos de la fuente de radiación.

La explicación de la mecánica cuántica de esto es que no existe un operador de transición para el monopolo eléctrico, y que el [operador dipolo eléctrico] lleva el momento angular. Es por eso que tiene reglas de selección para transiciones de dipolos eléctricos.

La otra diferencia radica en que$|(\mathbf{n}\times \mathbf{p}) \times \mathbf{n}|^2$término en la ecuación 9.22. Eso describe el estado de polarización de la onda resultante. Una onda dada tendrá un estado de polarización específico, y eso dependerá de la dirección relativa a$\mathbf{p}$. La onda mecánica cuántica, al ser una onda escalar, no tendrá tal polarización.