¿La mecánica cuántica se basa en el principio de incertidumbre? O opuesto?

El principio de incertidumbre es una consecuencia de los observables que no conmutan en la mecánica cuántica. Analicemos las características generales de QM y veamos qué significa esta afirmación.

El marco de QM involucra un espacio de Hilbert, estados que viven en él y operadores, algunos de los cuales pueden interpretarse como medidas cuyos resultados llamamos observaciones. Consideremos dos de estos operadores hermitianos,$A$y$B$. ¿Cuál es la varianza en cada uno de estos?

$$\begin{align} \sigma^2_A &= \langle(A-\langle A\rangle)^2\rangle\\ &=\langle\Psi|(A-\langle A\rangle)^2\Psi\rangle\\ &=\langle(A-\langle A\rangle)\Psi|(A-\langle A\rangle)\Psi\rangle\\ &=\langle f|f\rangle \end{align}$$ Del mismo modo escribimos $\sigma_B^2=\langle g|g\rangle$. Ahora por la desigualdad de Schwartz tenemos que $$\begin{align} \sigma_A\sigma_B &= \sqrt{\langle f|f\rangle\langle g|g\rangle}\\ &\ge|\langle f|g\rangle|\\ &\ge\mathcal Im\langle f|g\rangle\\ &=\frac{1}{2i}\left(\langle f|g\rangle-\langle g|f\rangle\right) \end{align}$$ Conectando nuestras expresiones para $f$y $g$llegamos a $$\sigma_A\sigma_B\ge\frac{1}{2i}\langle[A,B]\rangle$$ donde hemos introducido el conmutador, $[A,B]=AB-BA$. Este es el principio de incertidumbre en su forma más general. Vemos que todo se reduce a que los observables no se conmutan entre sí. Para el caso de cantidad de movimiento y posición, tenemos que $[p,x]=i\hbar$, por lo que el principio de incertidumbre dice $$\sigma_p\sigma_x\ge\frac{\hbar}{2}$$ ¡Espero que ayude!