¿La carga superficial en un conductor que lleva corriente es imposible?

Question

¿La carga superficial en un conductor que lleva corriente es imposible?

SalahLa Cabra

He oído de numerosas fuentes (en particular, "Las cargas superficiales en los cables del circuito y las resistencias juegan tres roles" por JD Jackson) que hay una carga superficial en cualquier conductor de corriente constante de conductividad uniforme (es decir, los cables conductores para un circuito de resistencia de batería simple ). Esta carga superficial es necesaria para garantizar que el campo eléctrico dentro de los cables conductores sea tal que tengamos una corriente constante y uniforme en todo el circuito. Entiendo cómo la ley de Ohm en combinación con la ley de Gauss permite esta acumulación de carga superficial durante el período transitorio inicial cuando $\nabla \cdot J \neq0$ . Lo que no entiendo es cómo se mantiene esta carga superficial durante condiciones de estado estable cuando $\nabla \cdot J =0$

Supongamos que tenemos tal alambre de conductividad uniforme $\sigma$ . Dentro del alambre, la densidad de carga debe ser cero ya que si tomamos la divergencia de la ley de ohmios obtenemos

\vec{mi} = 1 / σ \vec{j} \Rightarrow \nabla \cdot \vec{mi} = 1 / σ \nabla \cdot \vec{j} = 0

$\vec{E}=1/\sigma \vec{J} \,\,\,\Rightarrow \,\,\,\nabla \cdot \vec{E}=1/\sigma\, \nabla \cdot \vec{J}=0$ desde

\nabla \cdot \vec{J} = 0

$\nabla \cdot \vec{J}=0$ para una corriente constante. Luego, por la ley de Gauss, sabemos que la densidad de carga debe ser cero en todas partes dentro del cable. El argumento anterior se basa en el hecho de que

σ

$\sigma$ aunque es uniforme dentro del alambre. Sin embargo, a medida que nos acercamos a la superficie del cable, la conductividad debe caer abrupta o continuamente hasta que alcanza el valor de la conductividad del aire circundante (prácticamente cero). Por lo tanto, si aplicamos la ley de ohmios cerca o en la superficie del cable, debemos tener en cuenta que

σ

$\sigma$ ya no es una constante y tomando la divergencia obtenemos

\vec{mi} = 1 / σ \vec{j} \Rightarrow \nabla \cdot \vec{mi} = 1 / σ \nabla \cdot \vec{j} + \vec{j} \cdot (\nabla \frac{1}{σ}) = 0

$\vec{E}=1/\sigma \vec{J}\,\,\, \Rightarrow \,\,\, \nabla \cdot \vec{E}=1/\sigma\, \nabla \cdot \vec{J}+\vec{J}\cdot (\nabla \frac{1}{\sigma})=0$ pero ahora desde

\nabla \cdot \vec{J} = 0

$\nabla \cdot \vec{J}=0$ lo conseguimos

\Rightarrow \nabla \cdot \vec{mi} = \vec{j} \cdot \nabla ρ

$\Rightarrow \nabla \cdot \vec{E}=\vec{J}\cdot \nabla \rho$ dónde

\nabla ρ

$\nabla \rho$ es el gradiente de la resistividad (

ρ

$\rho$ es simplemente una función que da el valor de la resistividad en todos los puntos del espacio y es una función constante dentro del alambre pero que sube continua o abruptamente cerca de la superficie del alambre hasta que alcanza el valor de la resistividad del aire). Mi problema es que la densidad de corriente

\vec{J}

$\vec{J}$ está siempre en la dirección axial (incluso cerca o en la superficie) mientras que

\nabla ρ

$\nabla \rho$ siempre debe apuntar radialmente hacia afuera cerca o en la superficie (ya que este gradiente, por definición, apunta en la dirección de aumento

ρ

$\rho$ y esta dirección es hacia afuera, hacia el aire circundante altamente resistivo). Entonces eso significa el producto escalar

\nabla \cdot \vec{E} = \vec{J} \cdot \nabla ρ

$\nabla \cdot \vec{E}=\vec{J}\cdot \nabla \rho$ siempre debe ser igual a cero en la superficie o cerca de ella y, por la ley de Gauss, la densidad de carga superficial en la superficie también debe ser siempre igual a cero. Pero si este es el caso, ¿cómo puede acumularse una densidad de carga superficial en la superficie de un cable conductor?

¡Cualquier ayuda sobre este problema sería muy apreciada porque me ha estado volviendo loco recientemente!

Editar:

Mi pensamiento actual con respecto a este problema es que incluso un cable conductor de corriente que contiene una curva aún debería tener $\vec{J}\cdot \nabla \rho =0$ en cualquier lugar a lo largo de la superficie de la curva. Esto es porque esperaría $\vec{J}$ para ser dirigido a lo largo de la curvatura de la curvatura y, por lo tanto, ser paralelo a una línea tangente en la superficie de la curvatura. yo también esperaría $\nabla \rho$ ser normal a la superficie de la curva. Por eso $\nabla \cdot \vec{E}=\vec{J}\cdot \nabla \rho=0$ en cualquier lugar a lo largo de la superficie de la curva, por lo que no se debe acumular carga superficial a lo largo de la superficie de una curva.

gilberto

¿Ha considerado dobleces en el alambre? Para un cable recto ideal con una corriente constante, de hecho no hay carga neta.

SalahLa Cabra

@Gilbert Sí, lo tengo, esperaría que incluso en una curva, la densidad de corriente

\vec{J}

$\vec{J}$ sería tangente al alambre y por lo tanto seguiría la curva mientras

\nabla ρ

$\nabla\rho$ siempre apuntaría directamente fuera del cable y, por lo tanto, sería normal a las líneas tangentes a lo largo de la curvatura del cable. De este modo

\vec{J} \cdot \nabla ρ = 0

$\vec{J}\cdot \nabla \rho =0$ para todos los puntos a lo largo de la superficie de la curva?

HEMMI

Cómo

\nabla \cdot \vec{E} = 0

$\nabla\cdot\vec{E}=0$ ¿sostener? Como el campo eléctrico se distribuye fuera del conductor,

\nabla \cdot \vec{E} = 0

$\nabla\cdot\vec{E}=0$ no es válido para toda la región, incluidos el espacio y el conductor.

SalahLa Cabra

@HEMMI Estamos examinando corrientes constantes para que

\nabla \vec{J} = 0

$\nabla \vec{J}=0$ . De este modo

\nabla \cdot \vec{E} = \vec{J} \cdot \nabla ρ

$\nabla \cdot \vec{E}=\vec{J}\cdot \nabla \rho$ como se muestra en mi pregunta. Ahora

\vec{J}

$\vec{J}$ es tangente a la superficie del cable en todas partes a lo largo del cable (incluidas las curvas). También

\nabla ρ

$\nabla \rho$ es normal al alambre en todas partes a lo largo de su superficie. Por eso

\vec{J} \cdot \nabla ρ = 0

$\vec{J}\cdot \nabla \rho=0$ en cualquier lugar a lo largo de la superficie del alambre. De este modo

\nabla \cdot E = 0

$\nabla \cdot E=0$ . Todo esto está explicado en mi pregunta. Me doy cuenta de que hay un no cero

E

$E$ campo afuera. Sin embargo, ¿cómo se puede dar eso a lo que acabo de ilustrar?

Respuestas (7)

¿La carga superficial en un conductor que lleva corriente es imposible?

¿Ha considerado dobleces en el alambre? Para un cable recto ideal con una corriente constante, de hecho no hay carga neta.
@Gilbert Sí, lo tengo, esperaría que incluso en una curva, la densidad de corriente $\vec{J}$ sería tangente al alambre y por lo tanto seguiría la curva mientras $\nabla\rho$ siempre apuntaría directamente fuera del cable y, por lo tanto, sería normal a las líneas tangentes a lo largo de la curvatura del cable. De este modo $\vec{J}\cdot \nabla \rho =0$ para todos los puntos a lo largo de la superficie de la curva?
Cómo $\nabla\cdot\vec{E}=0$ ¿sostener? Como el campo eléctrico se distribuye fuera del conductor, $\nabla\cdot\vec{E}=0$ no es válido para toda la región, incluidos el espacio y el conductor.
@HEMMI Estamos examinando corrientes constantes para que $\nabla \vec{J}=0$ . De este modo $\nabla \cdot \vec{E}=\vec{J}\cdot \nabla \rho$ como se muestra en mi pregunta. Ahora $\vec{J}$ es tangente a la superficie del cable en todas partes a lo largo del cable (incluidas las curvas). También $\nabla \rho$ es normal al alambre en todas partes a lo largo de su superficie. Por eso $\vec{J}\cdot \nabla \rho=0$ en cualquier lugar a lo largo de la superficie del alambre. De este modo $\nabla \cdot E=0$ . Todo esto está explicado en mi pregunta. Me doy cuenta de que hay un no cero $E$ campo afuera. Sin embargo, ¿cómo se puede dar eso a lo que acabo de ilustrar?

Shaktyai · Answer 1

No estoy de acuerdo con tus matemáticas. Debido a la discontinuidad de la superficie, tiene algunas condiciones de salto que ha despreciado.

De la ecuación de continuidad de las cargas se obtiene:

\frac{\partial ϱ}{\partial t} + \vec{\nabla} . \vec{j} = 0

$\frac{\partial \varrho }{\partial t} + \overrightarrow{ \nabla } . \overrightarrow{j} =0$

Teniendo en cuenta la carga superficial y las densidades de corriente, y usando distribuciones para calcular la divergencia, se obtiene:

\vec{\nabla} . \vec{j} = {\vec{\nabla} . \vec{j}} + \vec{norte} . (\vec{j^{+}} - \vec{j^{-}}) d_{S}

$\overrightarrow{ \nabla }. \overrightarrow{j}=\{ \overrightarrow{ \nabla }. \overrightarrow{j}\}+ \overrightarrow{n}. \big( \overrightarrow{j^{+}}-\overrightarrow{j^{-}} \big) \delta _{S}$

$\overrightarrow{j^{+}}$ es la densidad de corriente fuera del conductor (nulo).

$\overrightarrow{j^{-}}=\overrightarrow{j_{S}}$ es la corriente superficial.

$\{ \overrightarrow{ \nabla }. \overrightarrow{j}\}$ es la divergencia habitual donde no hay discontinuidad. De la ecuación de conservación de carga se obtiene:

\Rightarrow \frac{\partial ϱ_{S}}{\partial t} + \vec{norte} . (\vec{j^{+}} - \vec{j^{-}}) = 0

$\Rightarrow ~~~~ \frac{\partial \varrho_{S} }{\partial t} + \overrightarrow{n}. \big( \overrightarrow{j^{+}}-\overrightarrow{j^{-}}\big) =0$

Desde $\overrightarrow{j_{S}}$ es tangencial a la superficie, el producto escalar es nulo.

Entonces obtienes:

\frac{\partial ϱ_{S}}{\partial t} = 0

$\frac{\partial \varrho_{S} }{\partial t}=0$

La densidad de carga superficial, si la hay, es constante.

Aplicando la misma técnica a:

\vec{\nabla} . (σ \vec{mi}) = \vec{\nabla} . (\vec{j})

$\overrightarrow{ \nabla }.(\sigma \overrightarrow{E} )=\overrightarrow{ \nabla }.( \overrightarrow{j} )$

Uno obtiene:

\vec{norte} . (σ^{+} \vec{{mi}^{+}} - σ^{-} \vec{{mi}^{-}}) = \vec{norte} . (\vec{j^{+}} - \vec{j^{-}})

$\overrightarrow{n}. \big(\sigma^{+} \overrightarrow{E^{+}}-\sigma^{-}\overrightarrow{E^{-}}\big)=\overrightarrow{n}. \big( \overrightarrow{ j^{+}}- \overrightarrow{j^{-}}\big)$

Fuera del conductor:

σ^{+} = 0

$\sigma^{+}=0$

j^{+} = \vec{0}

$j^{+}=\overrightarrow{0}$

En la superficie del conductor:

\vec{j^{-}} . \vec{norte} = \vec{j_{S}} . \vec{norte} = 0

$\overrightarrow{j^{-}}.\overrightarrow{n}=\overrightarrow{j_{S}}.\overrightarrow{n}=0$

Entonces obtenemos: $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{E^{-}}=0$

Combinando este resultado con la segunda ecuación de Maxwell obtenemos:

\vec{\nabla} . \vec{mi} = \frac{ϱ}{ε_{0}} \Rightarrow \vec{norte} . \vec{{mi}^{+}} = \frac{ϱ_{S}}{ε_{0}}

$\overrightarrow{ \nabla }. \overrightarrow{E} = \frac{ \varrho }{ \varepsilon _{0}} ~~ \Rightarrow ~~\overrightarrow{n}. \overrightarrow{E^{+}}= \frac{ \varrho_{S}}{\varepsilon _{0}}$

Por lo tanto, no puede excluir la posibilidad de una distribución de carga superficial: $\varrho_{S}$ . Sin embargo, la razón no se puede encontrar en las condiciones de salto de las ecuaciones de Maxwell. Si hay una densidad de carga, es por otras razones. El artículo de Jackson que ha proporcionado da tres de ellos:

Para mantener el potencial alrededor del circuito.
Proporcionar el campo eléctrico en el espacio exterior a los conductores.
para asegurar el flujo confinado de corriente.

Valle · Answer 2

Esta pregunta es un poco difícil porque dice que estás buscando una respuesta canónica. Sin embargo, la respuesta canónica está contenida en el documento de Jackson de 1996 "Las cargas superficiales en los cables de circuito y las resistencias juegan tres roles" que ya conoce. Entonces la respuesta canónica es clara y ya eres consciente de ello.

Lo que parece querer en realidad es comprender dónde falla su argumento. Ya conoce la respuesta canónica pero tiene un argumento claro y convincente de lo contrario.

El problema es que en su análisis hace dos suposiciones clave que se aplican solo durante el estado estacionario y luego pregunta:

si este es el caso, entonces, ¿cómo puede acumularse una densidad de carga superficial en la superficie de un cable conductor?

De hecho, dadas sus dos suposiciones de estado estacionario, la densidad de carga superficial no puede acumularse porque se supone que ya se ha acumulado por completo. Examinemos los supuestos específicos:

ya que ∇⋅𝐽⃗=0 para una corriente constante

Este es el gran problema. Por la ecuación de continuidad $\nabla \cdot \vec J +\partial_t \rho=0$ , dónde $\partial_t=\frac{\partial}{\partial t}$ . Durante el tiempo que se acumula la carga superficial $\partial_t \rho \ne 0$ y por lo tanto $\nabla \cdot \vec J \ne 0$ . Por lo tanto, esta condición se viola explícitamente durante la acumulación de carga.

Usaste $\nabla \cdot \vec J = 0$ en dos lugares. Una era razonar que la densidad de carga era cero en todo el cable, por lo que esta condición ya no es cierta. Antes del estado estacionario, mientras las cargas superficiales aún se están acumulando, puede haber una densidad de carga distinta de cero dentro del conductor. Segundo, lo usaste para razonar que $\nabla \cdot \vec E = \vec J \cdot \nabla (1/\sigma)$ (nota que uso $1/\sigma$ para la resistividad ya que estoy usando $\rho$ para la densidad de carga). Por lo tanto, este requisito también falla durante el período de estado no estacionario de acumulación de carga superficial.

la densidad de corriente $\vec J$ está siempre en la dirección axial (incluso cerca o en la superficie) mientras que $\nabla \rho$ siempre debe apuntar radialmente hacia afuera cerca o en la superficie

El hecho de que la densidad de corriente esté en la dirección axial no es una ley general de la naturaleza. El conductor es un medio isotrópico, por lo que no hay una dirección naturalmente preferida y la corriente puede ir en cualquier dirección que apunte el campo E. El hecho de que la densidad de corriente esté en la dirección axial se deriva de la condición de que $\nabla \cdot \vec J = 0$ lo cual, como se discutió anteriormente, no es válido durante la acumulación de cargas superficiales.

Durante la acumulación de las cargas superficiales, la densidad de corriente tendrá una componente normal a la superficie. Es precisamente este componente el que conduce a la acumulación de carga en la superficie del conductor. Si asume que está ausente, entonces asume que la carga no se puede acumular.

Entonces, en resumen, tiene razón en que, dadas las suposiciones de estado estacionario, no es posible que haya una acumulación de carga superficial. Durante ese tiempo, desde $\partial_t \rho \ne 0$ , necesariamente se violan los supuestos de estado estacionario. En particular, puede haber una densidad de carga distinta de cero dentro del conductor y la densidad de corriente tendrá un componente normal a la superficie. Estos dos hechos son los que permiten que se acumule la densidad de carga superficial.

EDITAR: Ahora, después de que se acumularon las cargas superficiales y estamos en estado estable, tenía una preocupación pendiente. Específicamente,

Entonces eso significa el producto escalar $\nabla \cdot \vec E = \vec J \cdot \nabla \rho$ siempre debe ser igual a cero en la superficie o cerca de ella y, por la ley de Gauss, la densidad de carga superficial en la superficie también debe ser siempre igual a cero.

Esto es simplemente una implicación errónea en la superficie de un conductor. Considere un conductor aislado colocado en un campo E externo. Dicho conductor, en estado electrostático, tiene una distribución de carga superficial que cancela exactamente el campo E externo (es decir, actúa como una jaula de Faraday) de modo que en el interior no hay campo E. En el estado electrostático, por definición, $\vec J=0$ y por lo tanto $\vec J \cdot \nabla (1/\sigma) = 0$ , aunque la carga superficial sea distinta de cero. Entonces, contrariamente a su declaración, la ley de Gauss junto con $\vec J \cdot \nabla (1/\sigma) = 0$ no implica que la carga superficial sea cero.

El problema parece ser que $\nabla (1/\sigma)$ es infinito y $\vec J$ es cero Entonces su producto no está definido. En este caso resulta ser finito, pero esta ecuación no sirve para descubrir eso.

Gracias por la respuesta. Soy consciente de que hay un breve período inicial en el que no se aplica el supuesto de estado estacionario y, por lo tanto, $\nabla \cdot J\neq0$ . Sin embargo, supongamos que esperamos hasta que termine este período transitorio. Una vez terminado el transitorio, debemos tener eso $\nabla \cdot J=0$ (para grande $t$ ). Es en este punto que $\nabla \cdot \vec{E}=\vec{J}\cdot \nabla \rho$ . Pero para todos los puntos de la superficie de cualquier alambre, el producto escalar $\vec{J}\cdot \nabla \rho$ aparentemente se desvanece. Por lo tanto debemos tener $\nabla \cdot \vec{E}=0$ . Así que no hay carga superficial. Aunque claramente estoy equivocado. Mi pregunta ...
Lo siento, todavía estaba escribiendo mi respuesta pero me interrumpieron, así que comentaste una respuesta incompleta. Mire ahora y vea si esto responde a su pregunta.
puede resumirse brevemente de la siguiente manera: ¿Cómo puede el producto escalar $\vec{J}\cdot \nabla \rho$ ¿Alguna vez no se desvanecerá en la superficie de un conductor que lleva corriente? Si se puede demostrar que este producto escalar no se desvanece en la superficie, entonces es posible que tengamos carga superficial. De lo contrario, en condiciones de estado estacionario, ¿la carga superficial aparentemente no puede existir?
He editado ligeramente mi pregunta original para que quede más claro que solo estoy interesado en la carga superficial durante el estado estable y que entiendo que la carga puede acumularse en la superficie durante el período transitorio cuando $\nabla \cdot J \neq 0$ . No entiendo cómo se mantiene esta carga durante el estado estacionario mientras $\vec{J} \cdot \nabla \rho =0$ en la superficie
@SalahTheGoat He agregado una edición para explicar ese problema

fotón UV · Answer 3

Hay otra forma de ver el problema que se señaló en el artículo de 1941 The Electric Field Associated with a Steady Current in Long Cylindrical Conductor de Alexander Marcus. Al igual que el papel de Jackson, coloca el conductor a lo largo del eje de un cilindro lejos para tener un camino de retorno para la corriente.

Dado que es un problema de estado estacionario, lo trata como "un ejemplo interesante de la ecuación de Laplace" usando la separación de variables en coordenadas cilíndricas y asume una solución lineal en z. Luego mira las condiciones de contorno. Siguiendo el papel (en unidades gaussianas).

V = (A z + B) (α registro r + β)

$V=(Az+B)(\alpha \log{r}+\beta)$

dentro del alambre $\alpha$ se puede establecer en 0 y $\beta$ a 1.

Tomando la derivada para encontrar el campo eléctrico, vemos que el campo E es una constante y apunta a lo largo del cable y dentro del cable no hay componente radial para E.

\frac{- d V}{d Z} = {mi}_{1} = - A_{1}

$\frac{-dV}{dZ}= E_1 =-A_1$

Donde los subíndices 1 y 2 están dentro y fuera del alambre y también podríamos decir si la resistencia del alambre por unidad de longitud es constante que $-A_1=RI$ o $J=\sigma E$ como esperamos

Fuera del alambre,

V_{2} = A_{2} z (α registro r + β)

$V_2=A_2z(\alpha\log{r}+\beta)$

Alquiler $\alpha$ =1 y evaluando las condiciones de contorno $\beta=-log(r_1)$ donación $A_2=-log(\frac{r_0}{r_1})$

Así que dentro del cable

V_{1} = - {mi}_{1} z

$V_1=-E_1z$

fuera del alambre

V_{2} = - \frac{{mi}_{1} z}{yo o gramo \frac{r_{0}}{r_{1}}} yo o gramo \frac{r}{r_{1}}

$V_2=-\frac{E_1z}{log\frac{r_0}{r_1}}log\frac{r}{r_1}$

Dado que se encuentran los potenciales y los campos eléctricos, también podemos encontrar la carga superficial utilizando el fortín gaussiano.

(\frac{d V_{1}}{d r})_{r = r_{0}} - (\frac{d V_{2}}{d r})_{r = r_{0}} = 4 π σ

$(\frac{dV_1}{dr})_{r=r_0}-(\frac{dV_2}{dr})_{r=r_0}=4\pi\sigma$

lo que da

σ = \frac{{mi}_{1} z}{4 π yo o gramo (\frac{r_{0}}{r_{1}})}

$\sigma= \frac{E_1z}{4\pi log(\frac{r_0}{r_1})}$

Mirando el problema de esta manera, está de acuerdo con la declaración del artículo de Jackson de que la carga superficial es necesaria para establecer los potenciales fuera del cable.

También en estado estacionario, si puede encontrar los potenciales dentro y fuera del cable, puede encontrar la densidad de carga superficial. Hay algunos artículos pedagógicos en el American Journal of physics que hacen esto numéricamente . Al hacer esto, también puede ver cómo se distribuye la carga en las curvas del cable. Si se toman los pasos de tiempo apropiados, se puede ver el transitorio de cómo la carga se mueve y se relaja cuando se activa un interruptor.

@ UVphoton: creo que debería mencionar que está trabajando en unidades gaussianas.

Ján Lalinský · Answer 4

La formulación local de la ley de Ohm

j = σ mi

$\mathbf j = \sigma \mathbf E$ no siempre es exactamente correcto. Es aplicable dentro de un conductor metálico u otro medio lineal, donde otras fuerzas sobre la carga móvil son insignificantes en comparación con la fuerza eléctrica.

Pero cuando la partícula cargada móvil está muy cerca de la superficie del cable, experimenta una fuerza adicional que no se puede ignorar: la fuerza de restricción, del cuerpo del cable, que empuja la partícula hacia el medio conductor (en dirección perpendicular a la superficie). ). Esta fuerza evita que las partículas cargadas que forman la corriente salten del cable al medio no conductor. De lo contrario, saltarían porque todos se repelen entre sí.

Desde el punto de vista reduccionista/microscópico, esta fuerza de restricción es el resultado de miles de millones de fuerzas microscópicas de atracción y repulsión debidas a todas las demás partículas cargadas en el sistema, y está presente y es distinta de cero en casi todas partes, tanto dentro como fuera del cable.

Sin embargo, en la teoría EM macroscópica, esta fuerza es relevante solo cuando la partícula cargada está muy cerca del límite donde las características del medio cambian con la posición. En este caso, la superficie del cable es tal límite: por lo general, el cable atrae la carga mucho más que el medio no conductor fuera del cable. Esta fuerza de restricción generalmente no se incluye en el campo eléctrico macroscópico. $\mathbf E$ , porque no está determinada por la distribución macroscópica de la carga eléctrica, sino por el tipo de materiales en el límite. Entonces, la fuerza de restricción en la teoría EM macroscópica es una fuerza independiente que actúa además de la fuerza $q\mathbf E$ debido al campo eléctrico macroscópico.

Entonces, la ley de Ohm "fija" en la superficie del cable sería algo así como

j = σ^{'} mi + σ^{'} C

$\mathbf j = \sigma' \mathbf E + \sigma' \mathbf C$

dónde $\sigma'$ es la conductividad efectiva en la superficie del cable (que puede ser diferente de la del interior del cable) y $\mathbf C$ caracteriza la fuerza de restricción por unidad de carga, que mantiene las cargas en la capa superficial del cable cargada negativamente unidas al cable.

Pensemos en un parche de superficie que está cargado negativamente. Por lo tanto, el campo eléctrico justo encima del parche en el medio no conductor apunta hacia el conductor, y el campo eléctrico que actúa sobre las cargas en la capa superficial, aunque puede ser algo más pequeño que el campo justo encima, tendrá la misma dirección. Entonces, la carga negativa en esa capa superficial experimentará una fuerza eléctrica que la empujará fuera del cable. A pesar de esto, por lo general no hay carga negativa fluyendo en esa dirección allí. Aquí, podemos ver la ley de Ohm habitual. $\mathbf j = \sigma \mathbf E$ no es válido en esa capa superficial.

Es decir, a menos que haya emisión de campo o emisión térmica. Por ejemplo, la emisión de campo significa que el campo eléctrico en la capa superficial es tan fuerte que supera el valor máximo posible de la fuerza de restricción que el conductor puede ejercer por unidad de carga, y las cargas negativas comienzan a saltar fuera del conductor. Sin embargo, esto sucede solo cuando el campo eléctrico apunta hacia el cable y es lo suficientemente fuerte, lo que se puede lograr aumentando el voltaje en algún lugar o concentrando suficientes cargas negativas en un conductor aislado. Por lo general, la emisión de campo comenzará en los bordes más afilados del conductor, porque el campo eléctrico suele ser el más fuerte. Sin embargo, incluso si aparece la corriente en el medio normalmente no conductor (vacío), no debe esperarse que obedezca la ley de Ohm.

Ritil · Answer 5

Creo que, a diferencia de las respuestas indicadas anteriormente, debería haber una explicación diferente. Considere un rayo catódico que fluye constantemente. En una región a su alrededor, definitivamente creará un campo eléctrico pero, a diferencia de la electrostática, esto no se debe a cargas estáticas sino dinámicas. Del mismo modo, lo que creo es que en una sección transversal particular del cable grueso, definitivamente habrá una distribución de carga no uniforme en el cable, pero no una carga estática, sino la debida al flujo de electrones. Por lo tanto, habrá una densidad de corriente no uniforme en el cable, lo que demuestra que los cálculos son incorrectos. Sin embargo, creo que la densidad de carga superficial es estática y también se debe tomar su contribución al campo eléctrico.

Como señaló RW Bird, la densidad de carga superficial y la distribución de la densidad de corriente también variarán a lo largo de la longitud sin violar la primera ley de Kirchhoff.

Esto no proporciona una respuesta a la pregunta. Una vez que tenga suficiente reputación, podrá comentar cualquier publicación ; en su lugar, proporcione respuestas que no requieran aclaración por parte del autor de la pregunta . - De la revisión

HEMMI · Answer 6

Estoy de acuerdo con la respuesta de @Shaktyai. Espero que lo que he escrito aquí sea consistente con la respuesta de Shaktyai, pero si contiene algún malentendido, es mi responsabilidad.

Suponiendo que se alcance el estado estacionario, considere un problema simple de capacitor y batería conectados. .

$\vec{E}$ y $\vec{J}$ en los alambres internos y las placas desaparecen. Creo que este problema de condensador + batería es un caso especial de las preocupaciones de SalahTheGoat. Dado que este es un caso especial, el teorema que él o ella escribió debería aplicarse a este problema, aunque $\vec{J}=0$ . Sin embargo, se sabe que la carga se acumula en las superficies conductoras de los capacitores. Por lo tanto, es incorrecto decir "La carga superficial en un conductor que lleva corriente es imposible".

lucas baldo · Answer 7

Te estás perdiendo una parte importante del rompecabezas. Para simplificar, consideremos un alambre de resistividad uniforme. Para una corriente constante, las cargas deben moverse a velocidad constante ya lo largo del cable (al menos macroscópicamente). Esto significa que las fuerzas netas que actúan sobre ellos deben ser cero.

La primera fuerza a considerar es la fuerza de Lorentz debida al campo generado por la corriente. Suponiendo una densidad de corriente uniforme en el alambre, encontramos que el campo magnético en su interior está dado por

\begin{aligned} B (r) & = \frac{m_{0} I}{2 π r} \hat{ϕ} \\ (1) & = \frac{m_{0} r}{2} j \hat{ϕ} . \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{B}(r) &= \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} \hat{\mathbf{\phi}} \\ &= \frac{\mu_0 r}{2} j \hat{\mathbf{\phi}}. \tag{1} \end{align}$ Esto genera una fuerza de Lorentz sobre las cargas:

\begin{aligned} F_{B} & = ρ v \times B \\ = - j \times B \\ (2) & = j B_{ϕ} \hat{r} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{F}_B &= \rho ~ \mathbf{v} \times \mathbf{B} \\ &= -\mathbf{j} \times \mathbf{B}\\ &= j~B_\phi~\mathbf{\hat{r}} \tag{2} \end{align}$ Si no hay otras fuerzas actuando sobre las cargas, se moverán hacia afuera, acumulándose en la superficie del alambre. Después de un tiempo, esta acumulación de carga generará un campo eléctrico en dirección radial que contrarrestará la fuerza de Lorentz. En estado estacionario, las dos fuerzas se cancelan, lo que significa que el campo eléctrico debe ser

\begin{aligned} mi & = - \frac{F_{B}}{ρ} \\ (2) & = - \frac{m_{0} r j^{2}}{2 ρ} \hat{r} . \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{E} &= -\frac{\mathbf{F}_B}{\rho} \\ &= -\frac{\mu_0 r j^2}{2 \rho} \hat{\mathbf{r}}. \tag{2} \end{align}$

A partir de la divergencia de este campo eléctrico se encuentra que induce una densidad de carga dentro del alambre de

\begin{aligned} ρ & = \frac{\nabla \cdot mi}{ϵ_{0}} \\ = - \frac{1}{ϵ_{0}} \nabla \cdot (\frac{m_{0} r j^{2}}{2 ρ} \hat{r}) \\ = - \frac{m_{0} j^{2}}{2 ϵ_{0}} (\nabla \cdot (\frac{r}{ρ} \hat{r})) \\ = - \frac{m_{0}}{2 ϵ_{0}} (\frac{1}{r} \partial_{r} (\frac{r j^{2}}{ρ})) \\ = - \frac{m_{0}}{2 r ϵ_{0}} (\frac{1}{ρ} \partial_{r} (r j^{2}) + r j^{2} (\partial_{r} \frac{1}{ρ})) \\ (4) & = - \frac{m_{0}}{2 r ϵ_{0} ρ} (j^{2} + 2 r j \partial_{r} j - \frac{r j^{2} ρ_{r}}{ρ}) \end{aligned}

$\begin{align} \rho &= \frac{\nabla \cdot \mathbf{E}}{\epsilon_0}\\ &= -\frac{1}{\epsilon_0} \nabla \cdot (\frac{\mu_0 r j^2}{2 \rho} \hat{\mathbf{r}})\\ &= -\frac{\mu_0 j^2}{2 \epsilon_0} \left(\nabla \cdot (\frac{r}{\rho} \hat{\mathbf{r}}) \right) \\ &= -\frac{\mu_0}{2 \epsilon_0} \left(\frac{1}{r}\partial_r (\frac{r j^2}{\rho}) \right)\\ &= -\frac{\mu_0}{2 r \epsilon_0}\left(\frac{1}{\rho}\partial_r( r j^2) + r j^2 (\partial_r \frac{1}{\rho}) \right)\\ &= -\frac{\mu_0}{2 r \epsilon_0 \rho}\left(j^2 + 2 rj \partial_r j - \frac{r j^2 \rho_r}{\rho} \right) \tag{4} \end{align}$

Entonces podemos resolver esta ecuación diferencial para obtener $\rho$ ... (para acabar)

Dado que el cable debe tener carga neutra, debemos tener una carga opuesta en la superficie, de modo que para una sección transversal dada la carga total sea cero:

\begin{aligned} (5) & 2 π \int_{0}^{R} (π R^{2}) r ρ (r) d r + (2 π R) σ & = 0. \end{aligned}

$\begin{align} 2\pi\int_0^R(\pi R^2) r \rho(r) dr + (2 \pi R) \sigma &= 0. \tag{5} \end{align}$

Finalmente, encontramos la densidad de carga en la superficie del alambre: (por hacer)

\begin{aligned}  \end{aligned}

$\begin{align} %\sigma = \frac{\mu_0 R j^2}{2}. \tag{6} \end{align}$

Observe que esta carga superficial se genera por la reubicación de las cargas debido al campo magnético inducido por la corriente. No hay necesidad de una resistividad variable. Además, puede sentirse en conflicto al ver una densidad de carga finita dentro de un conductor. Esta es una carga ligada, que aparece porque no estamos tratando con electrostática, ya que hay una corriente finita. Este es esencialmente el mismo mecanismo del Efecto Hall , con la particularidad de que aquí el campo que lo genera es causado por la corriente en el mismo alambre.

Un cable que lleva corriente no es neutro en carga. Para mantener un campo longitudinal uniforme dentro del cable, debe haber un gradiente en la carga/unidad de longitud. La mitad del alambre tendrá una carga neta positiva y la otra mitad será negativa. Esperaría que la distribución radial de este exceso de carga dependiera de los efectos magnéticos, pero cualquier pequeño volumen seleccionado debería ajustarse a la ley de Gauss.
@RWBird, ¿qué quieres decir con que la mitad del cable tiene una carga positiva? ¿Qué mitad?
La mitad que está conectada al terminal positivo de la fuente de alimentación.
Creo que no sé a qué fenómeno te refieres. ¿Podría darme algunas referencias?
La continuidad del flujo en un alambre uniforme requiere que tanto la corriente como el campo eléctrico longitudinal sean uniformes. Un campo uniforme requiere un gradiente uniforme en la distribución de carga a lo largo del alambre. Eso significa que habrá electrones adicionales en la mitad del cable que está conectado al terminal negativo de la fuente de alimentación y una deficiencia de electrones en la otra mitad. La ley de Gauss requiere que haya líneas de campo eléctrico que salgan de la superficie exterior del alambre en la mitad positiva y vuelvan a entrar en la mitad negativa.
"Un campo uniforme requiere un gradiente uniforme en la distribución de carga a lo largo del cable". ¿Cómo es esto cierto? Un campo uniforme tiene divergencia cero, lo que conduce a cero densidad de carga y gradiente. Nuevamente, ¿podría señalar alguna referencia de donde se deriva esta distribución de carga debido a una corriente continua?
Un campo uniforme infinito tiene divergencia cero. ¿De qué otra manera explicaría un campo uniforme en un cable que podría tener curvas o bucles? Debe haber una variación en la distribución de carga a lo largo del cable.
Genial, ¿podría indicarme un libro o documento donde pueda aprender más sobre esto?
Hice una breve búsqueda ayer y no pude encontrar un análisis claro de esta idea.
Veo. Gracias por tu tiempo. Si en algún momento alguien proporciona una fuente creíble para este efecto, con gusto actualizaré mi respuesta con las debidas correcciones.
Si quieres credibilidad, piénsalo. ¿Qué tipo de distribución de carga va a producir ese campo?
@RWBird vea el libro de A. Assis: ifi.unicamp.br/~assis/The-Electric-Force-of-a-Current.pdf
No estás usando la buena fórmula para el campo magnético. Dentro de un alambre lineal grueso, el campo magnético es: $B_{ϕ} (r) = \frac{m_{0} I_{0} r}{2 π a^{2}}$ $B_{ \phi }(r)= \frac{\mu_0 I_{0} r}{2 \pi a^{2}}$ La fuerza $F_{B}= \overrightarrow{j} \times \overrightarrow{B}$ . hay un signo negativo adicional en su fórmula.
$F=\rho \overrightarrow{E} =-\overrightarrow{F_{B}}$ : falta la densidad de carga en su texto.
@Shaktyai Gracias por tu aporte. Creo que mi ecuación es la misma que la tuya, ya que $I_0 = j \pi a^2$ . Estoy de acuerdo con la densidad de carga que falta y la revisaré, así como el letrero.
@Lucas Parece más errores tipográficos que errores graves.

¿La carga superficial en un conductor que lleva corriente es imposible?

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