Intuición de la ley de Ohm

Una manera fácil de probar la ley de Ohm para campos eléctricos que no son constantes es asumir primero que el campo eléctrico es aproximadamente constante en longitudes cortas, al igual que$E=dV/dL$sugiere. Usando eso, puede derivar la ley de Ohm para longitudes cortas de material,$dV=IdR$. Asumiremos que "entrada de corriente = salida de corriente", lo cual es cierto en estado estacionario. Esto nos permite integrar esta ecuación (dado que la corriente es una constante relativa tanto a dV como a dR), y obtienes la ley de Ohm regular$V=IR$. Esto equivale a decir que las pequeñas resistencias se combinan en serie para formar una resistencia neta para un material, para lo cual también se cumple la ley de Ohm. Esto es independientemente de cuán compleja sea la geometría que conforma la resistencia.

En la Ley de Ohm, tomamos$E$como constante por simplicidad. Cuando$E$cambia, la Ley de Ohm varía para$\vec{J}=\sigma \vec{E}$(dónde$\sigma = \frac{1}{\rho}$), según Kirchhoff.

Una resistencia bien diseñada tiene un área de sección transversal uniforme y constante, por lo que cualquier sección transversal dada se parece a cualquier otra, y el campo eléctrico$E$es el mismo en todos, dando un voltaje que varía linealmente a medida que uno recorre el camino. (Más teóricamente, esta es la solución dada por la ecuación de Laplace, que se aplica al potencial en un material con conductividad eléctrica constante$\sigma$.) Si hubiera una sección transversal pellizcada más estrecha a lo largo del camino, el campo eléctrico tendría que ser más alto allí para soportar la misma corriente que en las secciones no pellizcadas.

Para dos resistencias$R_1$y$R_2$en serie a través de una fuente de voltaje$V$, el argumento anterior funciona para cada resistencia, ¡pero no puede concluir que los campos eléctricos en las dos partes son iguales! En cambio, el actual$I$en ambas resistencias es (debe ser) el mismo, y los voltajes$V_1$y$V_2$a través de las dos partes se dividen de tal manera que su suma es el voltaje aplicado$V$:

La forma más detallada de resolver la corriente con un voltaje aplicado dado es calcular una solución autoconsistente. Un punto clave en la ley de Ohm es que la corriente es la corriente de estado estacionario, por lo que la corriente tiene que ser sin divergencia, para que la distribución de carga sea estacionaria. Las corrientes transitorias son mucho, mucho más complicadas.

Para calcular una corriente en una ubicación determinada, necesita algún tipo de mecanismo físico (como el modelo Drude) que depende del panorama de voltaje cerca de esa posición. Sin embargo, el requisito de autoconsistencia entra aquí: la distribución actual debe estar libre de divergencias, por lo que debe ajustar el panorama de voltaje hasta que ese sea el caso. Aquí hay una retroalimentación natural donde la carga quiere acumularse en áreas donde el voltaje es demasiado bajo; una vez que la carga va allí, el voltaje aumenta (a un ritmo que depende de la capacitancia) y la distribución de la carga se vuelve más estable. Una vez que la distribución de carga es totalmente estable, ese es el estado estacionario.

En el caso especial de una geometría de material rectangular con contactos finales uniformes y resistividad uniforme, este proceso termina dando un campo eléctrico uniforme.

Cuando derivamos la ley de Ohm usando el modelo de Drude, asumimos en un momento dado que E=V/L, cuando en realidad E=dV/dL, a menos que E sea constante, en cuyo caso la suposición E=V/L es verdadero. Pero no entiendo por qué el campo eléctrico en un conductor debe ser constante a medida que fluye la corriente.

Generalmente, el campo eléctrico en un conductor no tiene que ser constante (en el tiempo o en el espacio) a medida que fluye la corriente. Si la variación temporal del campo eléctrico es lo suficientemente grande, puede causar una variación rápida del flujo que, a su vez, puede hacer que el campo eléctrico se convierta en una función del espacio. En este caso, la ley de Ohm en el sentido tradicional ($V=IR$) falla y se debe aplicar la teoría de la línea de transmisión. Retrocedamos por un segundo y veamos cómo podemos mantenernos alejados de este caso general y permanecer en el límite donde el voltaje está bien definido.

A partir de la ley de Faraday sabemos que:

$\nabla \times E = -\frac{\partial B}{\partial t}$

Que se puede reescribir como:

$\oint E \cdot dl = -\int{\frac{\partial B}{\partial t}}\cdot dA$

Entonces, si el lado derecho de estas ecuaciones es insignificante, sabemos que la suma de los cambios de voltaje a lo largo de cualquier camino cerrado (por ejemplo, en un circuito que consta de una batería con dos resistencias en serie) debe ser igual a cero. Además, tenga en cuenta que$\nabla \times E = 0$también se requiere para que podamos escribir$E = - \nabla V$. Si$\nabla \times E$es distinto de cero, entonces no podemos definir esta relación entre campos eléctricos y voltaje de esta manera porque$\nabla \times \nabla V$siempre debe ser cero (esto es solo una identidad de cálculo vectorial).

Ahora, incluso con esta restricción, E no tiene que ser constante en el espacio a lo largo de todo el circuito. Fundamentalmente, es constante dentro de un medio como una resistencia porque ese medio es uniforme (hablaré de esto en breve).

Además, si la suposición V=E/L tiene sentido, puedo entender por qué la Ley de Ohm debería funcionar para un circuito eléctrico homogéneo. Sin embargo, no entiendo por qué debería funcionar para un circuito heterogéneo, tal vez uno con dos resistencias diferentes conectadas en serie. Y, por favor, no utilice la analogía del atasco de tráfico. Seguramente debe haber una forma más teórica de explicar esto (usando la Física Clásica).

Te daré la imagen de la física clásica que explicará por qué E = constante dentro de una resistencia uniforme y explicará por qué la ley de Ohm se cumple para una combinación en serie. Una forma perspicaz de derivar la ley de Ohm es comenzar con la ecuación de Lorentz y aplicarla a la masa de electrones dentro del medio resistivo (no a un solo electrón, sino a la masa, asumiendo que se mueven colectivamente):

$F = n m \frac{dv}{dt} = n q (E + v \times B)$

El electrón es acelerado por el campo eléctrico y para nuestro circuito ideal no existe un campo magnético, por lo que eliminaremos el segundo término (a veces se le llama término Hall y da lugar al efecto Hall). Tenga en cuenta que$n$en la expresión anterior es la densidad de electrones a granel. Ahora, sabemos que este movimiento masivo no puede continuar acelerándose indefinidamente: los electrones ceden su energía a medida que chocan dentro del medio. Podemos modelar esto agregando un término de pérdida a la ecuación anterior. Los electrones tienen un momento de$n m v$y pierden este impulso en algún momento; llamemos así$\nu$. Esto da:

$F = n m \frac{dv}{dt} = n q E - n m v \nu$

Tenga en cuenta que$\nu$tiene unidades de segundos inversos. Es solo una definición en este punto. Tendremos que calcular$\nu$pensando en cuánto tiempo le toma al electrón promedio perder un impulso igual a$m v$(según nuestra propia definición del problema). Cómo se calcula este valor está más allá del alcance de esta publicación y depende del medio. Para algunos materiales, solo necesitamos tener en cuenta las colisiones de columbios individuales y preguntar cuánto tiempo le toma a un electrón promedio perder un impulso igual a$m v$. Para otros materiales, pueden entrar en juego diferentes efectos que pueden hacer que el electrón pierda energía. En cualquier caso, sin embargo, podemos agrupar toda esa Física en$\nu$, y este último puede ser una función de la temperatura, la masa, la carga, etc. Entonces podemos hacer la pregunta, dada la ecuación de fuerza anterior para los electrones a granel, ¿cuál es la velocidad en estado estacionario? Para encontrar eso estableceremos$\frac{dv}{dt} = 0$y reordenar términos:

$\frac{n q}{m \nu} E = n v$

Si multiplicamos ambos lados por la carga$q$y reconocer que la densidad de corriente se define como$J\equiv n q v$llegamos a:

$\frac{n q^2}{m \nu} E = J$

Eso explica por qué, para muchos materiales, esta ecuación se cumple. Toda la física está contenida en$\nu$, que se agrupa con algunas otras constantes y se llama conductividad .

$\sigma \equiv \frac{n q^2}{m \nu}$

Esta definición para toda la extensión de la resistencia solo tiene sentido si la densidad de los portadores de carga, n, son constantes y tienen la misma masa en toda la resistencia. Entonces podemos decir que$\sigma$es constante en el espacio, lo que implica que$E$y$J$son constantes en el espacio. La imagen física subyacente tiene que ver con la pérdida de energía de los electrones; si esa pérdida ocurre uniformemente entonces$\sigma$es uniforme en el espacio. Entonces, si tiene dos materiales diferentes en serie, puede aplicar esta ecuación a cada material de forma independiente. Sin embargo, una cosa que debe reconocer es que la corriente a través del material 1 ($I_1 = J_1 A_1$) debe ser igual a la corriente para el material 2 ($I_2 = J_2 A_2$) debido a la ecuación de continuidad de carga (aquí$A_1$y$A_2$son las áreas de la sección transversal de las resistencias). Si el$I$no son iguales, entonces una o más de las resistencias acumularán carga. Mientras haya un campo eléctrico a través del medio, los electrones se acelerarán y sufrirán colisiones; el resultado neto es que continuarán fluyendo a través del medio y no se acumularán físicamente. Entonces, dada esta condición, obtenemos:

$E_1 \sigma_1 A_1 = I_1 = I$ $E_2 \sigma_2 A_2 = I_2 = I$

De aquí en adelante, solo usaremos definiciones. Si las longitudes de las resistencias son$l_1$y$l_2$podemos multiplicar y dividir por la longitud:

$E_1 l_1 \sigma_1 A_1 / l_1 = I$ $E_2 l_2 \sigma_2 A_2 / l_2 = I$

Usando$V = E l$y$R\equiv \sigma_1 A_1 / l_1$, obtenemos:

$V_1 / R_1 = I$ $V_2 / R_2 = I$

Usando lo que derivamos antes:

$\int{ E \cdot dl} = V - V_1 - V_2 = 0$

llegamos a:

$V = V_1 + V_2 = I (R_1 + R_2) = I R_{eff}$

¡Espero que ayude!