Interpretación y comprensión de la relación para el corrimiento al rojo fotométrico en un contenedor dado

En el contexto de la sonda fotométrica de encuestas (como LSST), necesito comprender la relación que debo usar para los contenedores fotométricos.

Considerando$p_{ph}(z_p|z)$la probabilidad de medir un corrimiento al rojo fotométrico igual a$z_p$sabiendo que el corrimiento al rojo real es$z$y dado$n(z)$la distribución de la densidad de los objetos, tengo la siguiente fórmula que da la densidad$n_i$de galaxias en$i$-th bin y que me gustaría entender:

$$n_{i}(z)=\frac{\int_{z_{i}^{-}}^{z_{i}^{+}} \mathrm{d} z_{\mathrm{p}}\,n(z)\,p_{\mathrm{ph}}(z_{\mathrm{p}} | z)}{\int_{z_{min}}^{z_{max}} \int_{z_{i}^{-}}^{z_{i}^{+}}\,\mathrm{d} z \,\mathrm{d} z_{\mathrm{p}} \,n(z) \,p_{\mathrm{ph}}(z_{\mathrm{p}} | z)} \quad(1)$$

con$\left(z_{i}^{-}, z_{i}^{+}\right)$cuáles son los valores de ambos lados (+ y -) del corrimiento al rojo$i$papelera.

Aquí mi intento de simplificar: con el teorema de Bayes, uno tiene:

$$p_{\mathrm{ph}}(z_{\mathrm{p}} | z) = p_{\mathrm{ph}}(z|z_{\mathrm{p}})\,\dfrac{p_{\mathrm{ph}}(z_{\mathrm{p}})}{p_{\mathrm{ph}}(z)}\quad(2)$$

y además, el término inferior de$(1)$da :

$$\int_{z_{min}}^{z_{max}} \int_{z_{i}^{-}}^{z_{i}^{+}}\,\mathrm{d} z \,\mathrm{d} z_{\mathrm{p}} \,n(z) \,p_{\mathrm{ph}}(z_{\mathrm{p}} | z)$$

$$=\int_{z_{i}^{-}}^{z_{i}^{+}}\,n(z)\,p_{\mathrm{ph}}(z_{\mathrm{p}})\,\text{d}z_{\mathrm{p}}\quad(3)$$

Entonces, al combinar$(2)$y$(3)$, obtenemos :

$$n_{i}(z)=\dfrac{n(z)\,p_{\mathrm{ph}}(z_{\mathrm{p}})}{\int_{z_{i}^{-}}^{z_{i}^{+}}\,n(z)\,p_{\mathrm{ph}}(z_{\mathrm{p}})\,\text{d}z_{\mathrm{p}}}\quad(4)$$

PERO de esto$(4)$No sé cómo concluir sobre la interpretación de la densidad de este objeto en el corrimiento al rojo de bin$i$.

Seguramente hay un error en mi intento de simplificar la expresión$(1$) pero no sé dónde.

Si alguien pudiera ayudarme a captar mejor las sutilezas de la relación$(1)$, desde un punto de vista matemático o físico, sería bueno explicarlo.

ACTUALIZACIÓN 1:

En particular, no estoy de acuerdo con las Ecuaciones (3) y (4). De hecho, usar el teorema de Bayes en el término inferior de la Ecuación (1) conduce a

$$\int_{z_{min}}^{z_{max}} \int_{z_i^-}^{z_i^+} dz dz_p n(z) p_{ph}(z|z_p)\frac{p_{ph}(z_p)}{p_{ph}(z)}$$

Pero$p_{ph}(z | z_p) dz$no es igual a$p_{ph}(z)$, por lo que no puede simplificar la fracción, como lo hace en la Ecuación (3)

Además,$dz_p n(z) p_{ph} (z_p | z)$no tiene razón para ser constante, por lo que no puede eliminar fácilmente el signo de integración, como lo hace en la Ecuación (4).

para la ecuación$(3)$, quería simplificar por:

$$\int_{z_{min}}^{z_{max}} \int_{z_{i}^{-}}^{z_{i}^{+}}\,\mathrm{d} z \,\mathrm{d} z_{\mathrm{p}} \,n(z) \,p_{\mathrm{ph}}(z_{\mathrm{p}} | z)= \int_{z_{i}^{-}}^{z_{i}^{+}}\,n(z)\,p_{\mathrm{ph}}(z_{\mathrm{p}})\,\text{d}z_{\mathrm{p}}\quad(5)$$

ya que deberíamos tener:

$$p_{ph}(z) = \int_{z_{min}}^{z_{max}} p_{ph}(z | z_p)\,dz_p\quad(6)$$ , ¿no deberíamos?

En el comentario anterior, hablas de la relación:$dz_p\,p_{ph} (z_p | z)$, no la ecuación$(6)$arriba, ¿estás de acuerdo?

Desde un punto de vista intuitivo, estoy de acuerdo en que la relación entre la densidad$n_i(z)$y densidad total$n(z)$es igual a la relación entre la probabilidad de obtener objetos de corrimiento al rojo$z_p$conociendo el corrimiento al rojo verdadero$z$integrando sobre$z_p$y la densidad total integrada sobre$z_p$y$z$.

Pero en cuanto tenemos que formularlo con matemáticas y probabilidades condicionales, es más difícil.

Tal vez debería considerar, por ejemplo, la siguiente relación, que es el equivalente del teorema de Bayes pero con funciones de densidad (llamada densidad condicional):

$$g\left(x | y_{0}\right)=\frac{f\left(x, y_{0}\right)}{\int f\left(t, y_{0}\right) \mathrm{d} t}\quad(7)$$

Pero no sé cómo conectar esta ecuación$(7)$con ecuación$(1)$.

Disculpe si no entendí bien: su comentario será valioso, por eso quiero aclarar este paso.

ACTUALIZACIÓN 2:

1)

El numerador de la Ecuación (1)

$$\int_{z_i^-}^{z_i^+} dz_p n(z) p_{ph}(z_p | z)$$ es simplemente el número de muestras en el$i^{th}$papelera fotométrica. De hecho, en un corrimiento al rojo dado$[z, z+dz]$, hay$n(z).dz$muestras Cada una de estas muestras tiene una probabilidad$p_{ph}(z_p|z)$de terminar en el$i^{th}$papelera. Entonces, integrando sobre$[z_i^-, z_i^+]$, obtienes el número de muestras con corrimiento al rojo verdadero$z$y un corrimiento al rojo fotométrico en ese contenedor.

El problema es que, en el numerador de la ecuación$(1)$:

$$\int_{z_i^-}^{z_i^+} dz_p n(z) p_{ph}\,(z_p | z)$$

nos integramos$z_p$y no$z$, por lo que no podemos considerar el número de muestras$n(z)\,\text{d}z$y después de decir que calculamos la probabilidad de estar en$i-th$papelera para tener$n_i(z)$muestras/valor de densidad. En efecto,$\text{dz}$no aparece en el numerador de la ecuación$(1)$.

¿Estás de acuerdo con este problema para mí?

2) Te proporciono una cifra que podría ayudar a alguien a comprender el significado de$eq(1)$:

Puede ver cada color correspondiente al corrimiento al rojo i-ésimo considerado y calculado a partir de la$eq(1)$. Espero que esto sea de ayuda.

Me gustaría hacer la conexión entre lo que he puesto en mi ACTUALIZACIÓN 1 , es decir, la densidad condicional o tal vez debería expresar la probabilidad condicional de esta manera:

$$g\left(x | y_{0}\right)=\dfrac{f\left(x, y_{0}\right)}{\int f\left(t, y_{0}\right) \mathrm{d} t}\quad(8)$$

Esta relación está calificada de "teorema de Bayes" para el caso continuo:

Pero si integro esta expresión$(8)$, Yo obtengo :

$$\int\,g\left(x | y_{0}\right)\,\text{d}y_0=\int\,\dfrac{f\left(x, y_{0}\right)\,\text{d}y_0}{\int f\left(t, y_{0}\right) \mathrm{d} t}\quad\neq\quad P(X|y_0)\quad(9)$$

Cómo hacer aparecer el término$P(X|y_0)$de la ecuación$(8)$?

ACTUALIZACIÓN 3: Realmente nadie para explicar los problemas citados anteriormente en mi ACTUALIZACIÓN 2 y mi intento de simplificar la ecuación$(1)$al comienzo de mi publicación (con una eventual conexión con la probabilidad condicional en ecuaciones$(7$o$(9)$?

Cualquier ayuda/comentario/sugerencia es bienvenida